Grenzwert bestimmen | x gegen eine Konstante

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Grenzwerte bestimmen:

(i)   \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \Large\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{4}}} \)

(ii)   \( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \Large\frac{x^{3}-4 x^{2}+5 x-2}{x-2} \)

(iii)   \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} x \cdot \cos \left(\exp \left(\frac{1}{x}\right)\right) \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären, wie genau man hier vorgeht, wenn man x gegen eine konstante laufen lässt?

Danke!

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^4}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^4\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^4\left(1+\frac{1}{x^4}\right)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^4+x^2}{x^4+1}=\frac{0+0}{0+1}=0$$

$$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^3-4x^2+5x-2}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{x^3-2x^2-2x^2+4x+x-2}{x-2}$$$$\qquad=\lim\limits_{x\to2}\frac{(x^3-2x^2)-(2x^2-4x)+(x-2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2(x-2)-2x(x-2)+(x-2)}{x-2}$$$$\qquad=\lim\limits_{x\to2}\frac{(x^2-2x+1)\cdot(x-2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}(x^2-2x+1)=\lim\limits_{x\to2}(x-1)^2=(2-1)^2=1$$

Beim letzten Teil nutzen wir aus, dass die Cosinus-Funktion stets Werte zwischen \(-1\) und \(1\) liefert. Damit können wir nämlich folgende Abschätzung treffen:

$$\left|\cos\left(\exp\left(\frac1x\right)\right)\right|\le1\implies |x|\cdot\left|\cos\left(\exp\left(\frac1x\right)\right)\right|\le|x|\implies$$$$\left|x\cos\left(\exp\left(\frac1x\right)\right)\right|\le|x|\implies -|x|\le x\cos\left(\exp\left(\frac1x\right)\right)\le|x|\implies$$$$-\lim\limits_{x\to0}|x|\le x\lim\limits_{x\to0}\left(\cos\left(\exp\left(\frac1x\right)\right)\right)\le\lim\limits_{x\to0}|x|\implies$$$$\lim\limits_{x\to0}\left(\cos\left(\exp\left(\frac1x\right)\right)\right)=0$$

Answer 2

Hallo

erstmal versucht man x einzusetzen

dann kommt öfter 0/0 oder oo/oo raus, also undefiniert, dann versucht man

L'Hopital oder eine Abschätzung.

1. L.Hopital ist hier angesagt

2. wenn Polynomen dieselbe Nullstelle haben, kann man durch (x-Nullstelle)  also hier (x-2) ausklammern und kürzen

3. e^(1/x) geht hier gegen oo aber |cos(a)|<=1 für alle a

d.h. x*cos(a(x))->0  für x->0 für alle a(x)

auch hier  und  in 2 geht L*Hopital

Gruß lul

Answer 3

x = 0
1/x = ∞
e ^∞ = ∞
∞ ist keine Stelle auf dem Zahlenstrahl
cos ( ∞ ) ist nicht definert

nach meiner Meinung

Comments

Korrektur
cos ( ∞ ) ist nicht definert
der cos liegt allerdings zwischen -1 und 1
das x * ( -1 bis 1 ) heißt
allerdings das Ergebnis ist 0.

Answer 4

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{4}}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}{\frac{x^{4}+1}{x^{4}}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}+1}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(x^{2}+1\right) \cdot x^{2}}{x^{4}+1}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}+x^{2}}{x^{4}+1}=0 \)

Comments

Dankesehr! ich versuche das mal so selber auszurechnen.