Grenzwert bekannt. √(ax^2 + bx + c) - rx - s → 0 für x gegen unendlich. r,s =?

Question

Mit gegebenen \( a, b, c \in \mathbb{R} \) mit \( a>0 \) bestimme man \( \alpha, \beta \).

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{a x^{2}+b x+c}-\alpha x-\beta\right)=0 \)

Answer 1

√(ax^2 + bx + c) - rx - s → 0 für x gegen unendlich. r,s = ?

Idee: Mach einen Bruch draus und erweitere mit dem 3. Binom.

(√(ax^2 + bx + c) - (rx + s) ) / 1

= (√(ax^2 + bx + c) - (rx + s) )(√(ax^2 + bx + c) + (rx + s) )/ (√(ax^2 + bx + c) + (rx + s) )

= (ax^2 + bx + c - (r^2 x^2 + 2rsx + s^2) ) / (√(ax^2 + bx + c) + (rx + s) )

= ( (a-r^2)x^2 + (b - 2rs) x + c - s^2 ) / (√(ax^2 + bx + c) + (rx + s) )

Jetzt sollte gelten

a = r^2 ----> r = √a            ,  da vorausgesetzt a > 0.

und

b = 2rs = 2s √a

b/(2√a) = s

Comments

was passiert mit Nenner? das kann auch unsere Grenzwert beeinflussen oder?

Und warum lassen wir  c - s^{2    außer} Sicht?

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Unten steht was Positives, das mindestens mit x^1 wächst, wenn x gegen unendlich geht. Daher sind Konstanten im Zähler kein Problem.