Grenzwert bestimmen. lim ((exp(ax)-exp(bx))/(sin(ax) - sin(bx)) für x gegen 0.

Question

Durch geeigete Umformung bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:

$$ G=\lim_{x\to 0}\frac { exp(αx) - exp(βx) }{sin(αx) - sin(βx)} $$

brauche Hilfe!!!

Comments

probier mal Hospital

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Über Hospital wäre das Kinderleicht. Allerdings soll es leider durch Umformung gezeigt werden :( Das bereitet mir auch Probleme. Zumindest sehe ich da momentan nichts.

Answer 1

$$\lim_{x\to0}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{\sin ax-\sin bx}=\lim_{x\to0}\frac{e^{bx}(e^{(a-b)x}-1)}{2\cos\frac{a+b}2x\cdot\sin\frac{a-b}2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{2\sin\frac{a-b}2x}\\=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{2x}{2\sin x}=1\cdot1=1.$$

Comments

Den 2. Schritt verstehe ich nicht ganz, wird e^bx mit cos(a+b/2)x gekürzt?

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$$\text{Nicht direkt. Gekürzt wird }\lim_{x\to0}e^{bx}=1 \text{ gegen }\lim_{x\to0}\cos\frac{a+b}2x=1\text{ zu }1.$$

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Ok habe es jetzt verstanden.

Noch eine letzte Frage, bei Schritt 3 $$ \lim_{x\to0}\frac { e^{ (\alpha-\beta)x }-1 }{ 2sin\frac { \alpha-\beta }{ 2 }x } $$ kürzt du das Exponent von e^(a-b)x mit a-b/2 der im Nenner steht und die 2 wird einfach multipliziert. Ist das so richtig?

Danke dir hat mir sehr geholfen... 

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Nein. Hier habe ich (ohne es explizit hinzuschreiben) \(t=\frac{a-b}2x\) substituiert. Mit \(x\) geht auch \(t\) gegen \(0\), denn \(\frac{a-b}2\) ist konstant.