Grenzwert x/sin x für lim xo gegen 0

Question

undzwar hab ich hier folgende Aufgabe gegeben. Diese soll auf stetigkeit überprüft werden... Es ist ja klar dass x nicht den Wert k*π (mit k∈ℤ) annehmen darf denn dann ist der Nenner=0. Wie berechne ich dann den Grenzwert für lim f(x) für xo= k*π ?

In meinen Lösungen steht dass dort 0 rauskommen soll... Hab dafür aber gar keinen Lösungsansatz. Hoffe da kann jemand helfen

Danke

Comments

Beispielsweise ist

$$ \lim_{x\to 0}x/sin(x)=1// $$

(was man auf versch. Wege zeigen kann)

währenddessen 

$$ \lim_{x\to \pi}x/sin(x) $$

nicht existiert, da der Zähler ungleich 0 wird und der Nenner jeweils links bzw. rechtsseitig von oben bzw. von unten gegen 0 strebt.

0 kommt nirgends heraus.

Wie lautet die Originalaufgabenstellung?

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Hi dort steht die Fkt hat an der Stelle xo= k*pi (kEZ) Unendlichkeitsstellen... Um zu gucken ob sie dort stetig ergänzbar ist muss man ja lim f(x) für x-> k*pi ausrechnen und wenn links und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen dann lässt sich die Fkt an der Stelle k*pi stetug ergänzen. Nur ich komm nicht auf den Grenzwert...

Answer 1

Der Graph sieht etwa so aus:

x/sin(x);[[-50|50|-50|50]]

Und wie schon im Kommentar steht:  

Bei x=0 kannst du durch f(0)=1 stetig ergänzen.

An den anderen Definitionslücken sind Polstellen:

Betrachte f( k*pi+h )   für k≠0 und h gegen 0:

= ( k*pi + h) / (  sin(k*pi)*cos(h) + cos(k*pi)*sin(h) ) 

 =( k*pi + h) /    ± sin(h) ) 

also Zähler gegen k*pi und Nenner gegen 0

==>  Polstelle .

Answer 2

> Diese soll auf stetigkeit überprüft werden

z(x) := x ist stetig, n(x) := sin(x) ist stetig. Also ist der Quotient f(x) = z(x)/n(x) stetig. Und zwar überall dort, wo er definiert ist.

> Wie berechne ich dann den Grenzwert für lim f(x) für xo= k*π ?

Für k ≠ 0 ist z(x) beschränkt und ≠ 0 und n(x) → 0 für x → k·π.

Also kommt f(x) → ± ∞ in Frage oder f(x) divergiert unbestimmt.

Weil z(x) keinen Vorzeichenwechsel und n(x) einen Vorzeihhenwechsel bei x = k·π hat, divergiert f(x) unbestimmt.

Für k = 0 gilt f(x) → 1/lim_x→0 sin(x)/x = 1.