Maximieren unter Nebenbedingung

Question

 

Stehe vor folgender Aufgabe:

Maximiere 5x^3*y^5 unter der Nebenbedingung 2x + 1/5y = 8

Ich kann mir leider absolut nichts darunter vorstellen wie ich das hinbekommen soll. 

Answer 1

Löse die Gleichung  2x + 1/5y = 8 nach y auf und setze in f(x)= 5x³*y⁵ ein. Bestimme dann die Nullstellen der ersten Ableitung. Eine davon ist das gesuchte Maximum.

Answer 2

Maximiere 5x^3*y^5 unter der Nebenbedingung 2x + 1/5y = 8

Geht mit Lagrange-Ansatz oder auch direkt mit einsetzen.

Es heißt wohl  2x + (1/5)y = 8   ==>   y = 40 - 10x 

Einsetzen bei  5x^3*y^5  gibt f ( x) =  5x^3 * (40 - 10x )^5 

mit Produkt- und Kettenregel:

f ' (x)  =   5x^3 * 5* (40 - 10x )^4 *(-10)    +    15x^2 * (40 - 10x )^5 

          =  -250x^3 * (40 - 10x )^4     +    15x^2 * (40 - 10x )^5 

        

f ' (x) = 0  <=>  -250x^3 * (40 - 10x )^4     +    15x^2 * (40 - 10x )^5 =0

        <=> x^2 * (40 - 10x )^4  *  ( -250x  +  15(40-10x) ) = 0 

          <=> x^2 * (40 - 10x )^4  *  (600-400x ) = 0 
   

<=> x=0 v x=4 v  x= 1,5                        

f ''(x)  kann man wohl über f(x) = (40 - 10x )^4  *  (600x^2-400x^3 ) bestimmen

f ' ' (x) = 4* (40 - 10x )^3 *(-10)  *  (600x^2-400x^3 ) + (40 - 10x )^4  *  (1200x-1200x^2 )

also f' ' (0) = 0 und f ' ' (4) = 0 aber f ' ' (3/2 ) < 0.

Also ist jedenfalls bei x=3/2 ein Maximum.