Solution: Du kannst es durchaus mit Lagrange Multiplikatoren lösen, das ist jedoch nicht nötig in dieser Aufagabe (unten ist die ausreichende Begründung nachgestellt). Hier trotzdem mal das Vorgehen: Mit
\(\begin{aligned} f(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \sigma^{2}, \quad g(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}-1\end{aligned} \)
möchten wir
\( \begin{aligned} \nabla f(x) &=\lambda \nabla g(x), \quad \lambda \in \mathbb{R} \\ g(x) &=0 \end{aligned} \)
lösen. Wegen
\(\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=2 x_{i} \sigma^{2}, \quad \frac{\partial g}{\partial x_{i}}=1\end{aligned} \)
wodurch wir also
\(\begin{aligned} x_{i}=\frac{\lambda}{2 \sigma^{2}} \Longrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\lambda}{2 \sigma^{2}}=1 \Longleftrightarrow \lambda=\frac{2 \sigma^{2}}{n}\end{aligned} \)
und somit \( x_{i}=1 / n \) erhalten.
Eigentlich genügt jedoch folgende Betrachtung: Konstituiert \( x_{1}=\cdots=x_{n}=1 / n \) ein Minimum, so ist dies genau dann der Fall, wenn in einer Umgebung \( U\left(\boldsymbol{x}^{*}\right) \) gilt:
\(\begin{aligned} \forall y \in U\left(x^{*}\right): f\left(x^{*}\right) \leqslant f(y)\end{aligned} \)
Sei also \( \epsilon \) eine kleine Pertubation welche die Bedingung erhält, also
\(\begin{aligned} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{n}+\epsilon_{i}\right)=1 \Longrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} \epsilon_{i}=0\end{aligned} \)
so finden wir
\(\begin{aligned} f\left(\frac{1}{n}+\epsilon\right)=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{n}+\epsilon_{i}\right)^{2}=\underbrace{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{n^{2}}}_{=f\left(x^{*}\right)}+\underbrace{2 \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \epsilon_{i}}_{=0}+\underbrace{\sum \limits_{i=1}^{n} \epsilon_{i}^{2}}_{\geq 0}\ \geqslant f\left(x^{*}\right)\end{aligned} \)
