Optimierung Faktoren unter Nebenbedingung Produktion

Question

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute

F(X1,X2)=3x₁²+61x₁x₂+2x₂²
Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 79 und 91, wenn ein Produktionsniveau von 3902 erzielt werden soll.

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor 2?

Ansatz:

Nebenbedingung: C(x)= 79x₁+91x_{2                     q= 3902}

Meine Lagrange fkt: C(x1,x2)-Landa((F(x1,x2)-q)

Dann leite ich nach x1,x1 und landa ab setze diese null

So erhalte ich zwei fkt für landa: 79/(6x₁+61x₂)=91/(61x₁+4x₂)

Diese Gleichsetzung löse ich erhalte dann x1 bzw. x2
x1=(5235/4273)x2.                  x2=(4273/5235)x1.

Nun setze ich das in die Ableitung nach Landa, sodass ich nur x2 als unbekannt habe und setze es 3902 gleich

3((5235/4273)x₂)²+61((5235/4273)x₂)x₂+2x₂²=3902

Nun Löse ich das Ganze nach x2 und erhalte x2=6,468950968 was gerundet auf zwei nachkomma stellen 6,47 ergeben würde

Jedoch ist diese Antwort falsch

Kann mir jemand helfen Bitte...

Answer 1

Aloha :)

Du hast den richtigen Rechenweg beschrieben und müsstest eigentlich zum richtigen Ergebnis kommen. Vermutlich hast du dich auf dem Weg verrechnet. Ich schreibe mal meinen Rechenweg zum Vergleich auf.

$$L(x_1,x_2,\lambda)=79x_1+91x_2-\lambda\left(3x_1^2+61x_1x_2+2x_2^2-3902\right)$$$$0=\frac{\partial L}{\partial x_1}=79-\lambda(6x_1+61x_2)\quad\Rightarrow\quad\lambda=\frac{79}{6x_1+61x_2}$$$$0=\frac{\partial L}{\partial x_2}=91-\lambda(61x_1+4x_2)\quad\Rightarrow\quad\lambda=\frac{91}{61x_1+4x_2}$$$$0=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=3x_1^2+61x_1x_2+2x_2^2-3902$$

Aus den beiden nach \(\lambda\) umgestellten Gleichungen folgt:$$\frac{6x_1+61x_2}{79}=\frac{1}{\lambda}=\frac{61x_1+4x_2}{91}$$$$546x_1+5551x_2=4819x_1+316x_2$$$$5235x_2=4273x_1$$$$x_2=\frac{4273}{5235}x_1$$Das wird in die letzte Gleichung eingesetzt:$$3902=3x_1^2+61x_1\cdot\frac{4273}{5235}x_1+2\left(\frac{4273}{5235}x_1\right)^2\approx54,1229\,x_1^2$$$$x_1\approx8,4909\quad;\quad x_2\approx6,9306$$Du hast dich offenbar auf der Zielgeraden irgendwo verrechnet...

Comments

alles klar danke hab meinen fehler gefunden