Hallo Paula,
Du kannst natürlich aus der Nebenbedingung $$\text{NB: } \space x_1 = \frac{940}{x_2^3}$$ (ist die NB so richtig?) das \(x_1\) in die Kostenfunktion einsetzen. Dann bekommst Du aber ein ziemliches Monstrum von Gleichung und nach Ableiten wird es mit dem Finden der Nullstelle schwierig.
Einfacher ist es, den Weg über Lagrange zu wählen. Es ist $$\text{NB: } \space x_1 = \frac{940}{x_2^3} \implies x_1x_2^3 - 940 = 0 \\ \begin{aligned}L(x_x,x_2, \lambda) &= 28 x_1 + \left( 12 x_2\right)^3 + \lambda(x_1x_2^3 - 940) \\ \frac{\partial L}{\partial x_1} &= 28 + \lambda x_2^3 = 0 \implies \lambda = -\frac{28}{x_2^3} \\ \frac{\partial L}{\partial x_2} &= 3 \cdot 12^3 x_2^2 + 3\lambda x_1x_2^2 = 0 \\ \implies 0 &= 3 \cdot 12^3 x_2^2 + 3 \left( -\frac{28}{x_2^3}\right) x_1x_2^2 &&\left| \div 3x_2^2\right. \\ 0 &= 12^3 - \frac{28x_1}{x_2^3} \\ \implies x_2^3 &= \frac{28}{12^3} x_1\end{aligned}$$Setze dies in die NB ein $$ \frac{28}{12^3} x_1^2 = 940 \implies x_1 \approx 240,86$$... wenn ich mich nicht verrechnet habe ;-)
Durch die Ableitung von C weiß ich, dass es ein Minimum bei x=1,57 gibt
Du meinst \(x_2\) - das kommt hin: $$x_2 = \sqrt[3]{\frac{940}{x_1}} \approx 1,574$$
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen um auf die Menge des Inputfaktors Arbeit in diesem Kostenminimum zu kriegen bzw. ist es bis hier hin überhaupt richtig?
Das \(x_2\) sollte doch die Menge von Arbeit sein, wenn ich Deinen Vorspann richtig interpretiere. Ob die Kostenfunktion richtig ist, kann ich nicht beurteilen. Es ist nur ungewöhnlich, dass die Arbeit \(x_2\) mit der dritten Potenz eingeht ...
zum Verständnis:
~plot~ (13488- (12x)^3)/28;[[-1|5|-100|600]];940/(x^3);(12000- (12x)^3)/28;(15000- (12x)^3)/28;{1.57|241} ~plot~
Ich hab Dir oben noch einen Plot hinzu gefügt. Nach rechts auf der Abzisse ist \(x_2\) aufgetragen und in der Vertkalen \(x_1\). Der orange-rote Graph gibt die Nebenbedingung an. Die drei mehr oder weniger parallel verlaufenden Graphen sind Orte gleicher Kosten. Beim grünen Graph ist \(C=12000\), beim blauen ist \(C= 13488\) und beim pink farbenden ist es \(C=15000\). D.h. die Kosten nehmen von rechts nach links ab.
Der blaue Graph berührt eben gerade den Graphen der Nebenbedingung im Optimum \((x_1=1,574; \, x_2=240,9)\).
