Optimierung Lagrange mit f(x,y)=-4xy+2x^2 +y^4 -1 und zwei Nebenbedingungen

Question

Aufgabe:

Hey, ich soll den größten und kleinsten Funktionswert von f(x,y)= -4xy+2x²+y⁴-1 mit 0≤x≤2 und 0≤y≤2 als Nebenbedingungen berechnen. Ich denke mal der Ansatz dafür ist die Lagrange Multiplikatoren Methode, aber die kenne ich nur unter „=“ Nebenbedingungen.. Kann da einer weiterhelfen?

Answer 1

Die Ränder des Bereichs bilden ein Quadrat.

Berechne einfach für dessen 4 Seiten jeweils den kleinsten und größten Funktionswert und vergleiche mit den lokalen Minima/Maxima im Inneren der Fläche.

Lagrange ist nicht erforderlich.

Answer 2

Du kannst eine 2-fache quadratische Ergänzung durchführen.

Schritt 1: Gemischtes Glied \(-4xy\) mit \(2x^2\) zusammenfassen

$$f(x,y) = 2(x-y)^2-2y^2+y^4 -1$$

Schritt 2: Quadratische Ergänzung bzgl. \(y^2\)

$$f(x,y) = 2(x-y)^2 + (y^2-1)^2 -2$$

Der Rest ist Pippifax:

Minimum - die quadratischen Terme müssen minimal sein.

\(y^2=1, x=y\stackrel{0\leq x,y\leq 2}{\Rightarrow}y=x=1 \Rightarrow \boxed{f(1,1) =-2}\) ist das Minimum.

Maximum - die quadratischen Terme müssen maximal sein.

\(y^2-1\) ist maximal für \(y=2\).

\((x-y)^2\) ist maximal, wenn \(x\) und \(y\) maximalen Abstand haben.

Die zweite Bedingung ist für \(y=2\) erfüllbar für \(x=0\). Also

\(\boxed{f(0,2) =15} \) ist das Maximum.

Comments

Herrlich! :D Sehr hilfreich, vielen Dank!

Answer 3

Hallo William,

Willkommen in der Mathelounge!

Den Lagrange kannst Du hier zunächst beiseite lassen. Leite die Funktion nach x und y ab und setze die jeweiligen Ableitungen zu 0. Dann findest Du zwei Punkte im Definitionsbereich, die Kandidaten für (im Definitionsbereich globale) Minima oder Maxima sind. Ich habe diese in der Graphik als orange Punkte markiert.

Aus der Graphik folgt sofort, dass einer der beiden den kleinsten Funktionswert liefert. Der größte Funktionswert liegt im Schnittpunkt zweier Grenzen. Streng genommen sind es nämlich vier Nebenbedingungen $$0\le x \quad x \le 2 \quad 0 \le y \quad y \le 2$$Um die Maxima oder MInima auf den Grenzen zu finden, brauchst Du hier keinen Lagrange. Es reicht aus, den entsprechenden Wert (z.B. \(x=0\))  einfach in \(f\) einzusetzen und dann den Rest zu 'optimieren'.

Und natürlich musst Du immer die Ränder überprüfen - also hier die vier Ecken des Definitionsbereichs.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

PS.: klick auf das Bild