Lagrange (3 Variabeln, 2 Nebenbedingungen)

Question

Aufgabe:

Lagrange Optimierung mit drei Variablen und zwei Nebenbedingungen. Wolfram Alpha sagt, es gibt ein Maximum.

Problem/Ansatz:

Lagrange-Funktion aufstellen:

L(x,y,z,λ,µ)=x^2+2*x*y+y*z^2+λ*(2x+y+z^2-20)+µ*(x+z-6)

Lx=2x+2y+2*λ+µ=0

Ly=2x+z^2+λ=0

Lz=2yz+2zλ+µ=0

Lλ=2x+y+z^2-20=0

Lµ=x+z-6=0

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelft. Probiere nun schon recht lange, das Gleichungssystem zu lösen und eich bekomme es nicht hin. Im Internet habe ich einerseits theoretische Lösungsansätze gefunden oder praktische mit leichteren Nebenbedingungen.

Liebe Grüße

P

Answer 1

Text erkannt:

Ohne Lagrange berechnet:
\( H B: \)
\( L(x, y, z)=x^{2}+2 \cdot x \cdot y+y \cdot z^{2} \) soll extremal werden.
\( N B_{1} \)
\( 2 x+y+z^{2}=20 \)
\( N B_{2} \)
\( x+z=6 \rightarrow z=6-x \in N B_{1} \)
\( 2 x+y+(6-x)^{2}=20 \)
\( 2 x+y+36-12 x+x^{2}=20 \)
\( y=-16+10 x-x^{2} \)
\( L(x)=x^{2}+2 \cdot x \cdot\left(-16+10 x-x^{2}\right)+\left(-16+10 x-x^{2}\right) \cdot(6-x)^{2} \)
\( \frac{d L(x)}{d x}= \)
\( =2 x+2\left(-16+10 x-x^{2}\right)+2 x(10-2 x)+(10-2 x)(6-x)^{2}-\left(-16+10 x-x^{2}\right) 2(6-x) \)
\( x+\left(-16+10 x-x^{2}\right)+x \cdot(10-2 x)+(5-x) \cdot(6-x)^{2}-\left(-16+10 x-x^{2}\right) \cdot(6-x)=0 \)
\( x \approx 6,2348 \)
\( y \approx-16+10 \cdot 6,2348-6,2348^{2} \approx 7,47 \)
\( z \approx 6-6,2348=-0,2348 \)
Nun Werte bei \( L \) einsetzen...
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets