Optimierung unter 2 Nebenbedingungen

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

ich habe über die Ferien einige Übungsblätter mitbekommen und hänge nun bei einem fest. Gesucht sind alle kritischen Punkte der Funktion

\(f(x,y,z)=x+2y-z\)

unter den beiden Nebenbedingungen

\(g_1(x,y,z)=x^2+y^2-8=0\)

\(g_2(x,y,z)=x+z-4=0\)

Es ist klar das man das Verfahren von Lagrange benutzen muss, nur wie funktioniert das mit 2 Nebenbedingunen?

Danke euch für jede Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Nach dem Lagrange-Formalismus müssen die Gradienten der Funktion \(f\) und die Gradienten aller Nebenbedingungen \(g_1,g_2\) linear abhängig sein. Die entsprechenden Koeffizienten in der Linearkombination sind die Lagrange-Multiplikatoren. Wir können uns die Lagrange-Multiplikatoren sparen, wenn wir uns daran erinnern, dass die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix das von ihren Spaten- bzw. Zeilenvektoren aufgespannte \(n\)-dimensionale Volumen ist. Das heißt, bei linear abhängigen Vektoren verschwindet die Determinante.

Damit ist also klar, wie du hier am besten rangehen kannst. Schreibe alle Gradienten in eine Determinante und setze diese gleich \(0\). Die erhaltene Bedingung setzt du in die Nebenbedinungen ein.

$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{r}1 & 2x & 1\\2 & 2y & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{r}1 & 2x & 2\\2 & 2y & 2\\-1 & 0 & 0\end{array}\right|=(-1)\cdot(4x-4y)\quad\Rightarrow\quad y=x$$$$0\stackrel{!}{=}g_1(x,x,z)=x^2+x^2-8=2x^2-8=2(x^2-4)$$$$\qquad\Rightarrow\quad x=\pm2\;;\;y=x=\pm2$$$$0\stackrel{!}{=}g_2(x,x,z)=x+z-4$$$$\qquad\Rightarrow\quad z=4-x$$Damit gibt es zwei kritische Punkte:$$P_1(2;2;2)\quad;\quad P_2(-2;-2;6)$$

Comments

Sehr interessanter Zusammenhang, einfach und klar erklärt.

Vielen Dank.

Answer 2

Hallo,

es gilt:$$\det \begin{pmatrix} \partial _1f(x,y,z) & \partial _1 g_1(x,y,z) & \partial _1g_2(x,y,z) \\ \partial _2f(x,y,z) & \partial _2 g_1(x,y,z) & \partial _2g_2(x,y,z) \\ \partial _3f(x,y,z) & \partial _3 g_1(x,y,z) & \partial _3g_2(x,y,z)\end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} 1 & 2x & 1 \\ 2 & 2y & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} 2 & 2y \\ -1 & 0 \end{pmatrix}+\det \begin{pmatrix} 1 & 2x \\ 2 & 2y \end{pmatrix}=2y+2y-4x=4(y-x)=0 \implies x=y$$. Setzt du diesen Zusammenhang in die beiden Nebenbedingungen ein, so erhältst du \(2x^2-8=0 \Rightarrow x^2=4 \implies x_{1,2}=\pm 2\), d. h. \(y_{1,2}=\pm 2\) und aus der zweiten Nebenbedingung hast du \(z_{1,2}=4\mp 2\)

Answer 3

Die zweite Nebenbedingung liefert direkt

x + z - 4 = 0 --> z = 4 - x

Damit lautet deine Funktion auch

f(x, y) = x + 2·y - (4 - x) = 2·x + 2·y - 4

Damit hast du nur noch eine Funktion mit 2 Unbekannten und eine Nebenbedingung mit genau diesen Unbekannten. Jetzt kannst du also das Lagrange-Verfahren durchführen.

L(x, y, k) = 2·x + 2·y - 4 - k·(x^2 + y^2 - 8)

L'(x, y, k) = [2 - 2·k·x, 2 - 2·k·y, - x^2 - y^2 + 8] = [0, 0, 0]

Als Lösung habe ich hier: (x = -2 ∧ y = -2 ∧ k = -0.5) ∨ (x = 2 ∧ y = 2 ∧ k = 0.5)

Das zugehörige z konnte man jetzt auch noch leicht berechnen.