Wie kann man die Koordinatengleichung in eine Parameterglichung umwandeln?

Question

Untersuche Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E: 3x+6y+4z = 36 und F.

Nun ist F: 6x+12y+8z=36, also ebenfalls in der Koordinatengleichung. Wie kann man die Koordinatengleichung in eine Parametergleichung umwandeln? Oder ist der Lösungsansatz anders?

Answer 1

Die linke Seite von F ist Vielfaches der linken Seite von E, damit parallel.

Für eine Umrechnung brauchst Du drei beliebige Punkte auf F (zwei der drei x, y, z beliebig vorgeben, das dritte berechnen).

Answer 2

Du kannst die Lagebeziehung auch damit klären:

          E: 3x+6y+4z = 36 und    F: 6x+12y+8z=36   2.Gl. durch 2

<=>       3x+6y+4z = 36 und    3x+6y+4z = 18

1. minus 2. gibt    18=0   f. Aussage.

Die Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt,

sind also parallel und verschieden.

Answer 3

hallo

allgemein , bestimme irgendeinen Aufpunkt, dann 2 Richtungsvektoren die senkrecht auf dem Normalenvektor liegen-

aber die Ebenen sind parallel (oder gleich) wenn die Normalenvektoren  gleich sind bzw proportional, sonst schneiden sie sich, hier sind sie also parallel.

Gruß lul

Answer 4

Aloha :)

Alle Punkte der Ebene \(F\) erfüllen die Gleichung:$$6x+12y+8z=36\quad\text{bzw.}\quad x=6-2y-\frac43z$$Daher kannst du alle Punkte der Ebene so angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-2y-\frac43z\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+\frac z3\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}$$Da du \(y\) und \(z\) beliebig wählen kannst, kannst du auch jede andere reele Zahle für \(y\) bzw. \(\frac z3\) setzen, also etwa \(y\) durch \(s\) und \(\frac z3\) durch \(t\) ersetzen.

Aber das brauchst du hier gar nicht. Nimm die Ebenengleichung für \(E\) und multipliziere beide Seiten mit dem Faktor \(2\):$$E\colon6x+12y+8z=72$$Ein Vergleich mit der Ebene$$F\colon6x+12y+8z=36$$zeigt dir nun das beide Ebenen parallel sind aber nicht gleich.