Optimierung von f(x,y) = 15 x^{1/3} y^{2/3} unter Nebenbedingung

Question

Sei f(x,y) = 15 x^1/3  y^2/3  und die Nebenbedingung lautet 200x+ 100y = 7500000

Es handelt sich hierbei um eine sog. Cobb-Douglas- Produktionsfunktion, die unter der gegebenen Nebenbedingung maximiert werden soll.

Mein erster Ansatz war es die Nebenbedingung nach x umzustellen und in f einzusetzen, die Ableitung zu bilden und das Extremum zu finden. Dies liegt jedoch bei y= 5000000 was nicht sein kann da x und y Kosten darstellen, die nicht negativ sein können.

Mein zweiter Ansatz war es das Lagrange Optimierungsverfahren anzuwenden, bei dem ich es nicht schaffe die Nullstellen der partiellen Ableitungen zu berechnen.

Gibt es noch ein weiteres Verfahren zur Berechnung von Extrema unter Nebenbedingung bzw. wo könnte ich einen Fehler gemacht haben?

Answer 1

> Sei f(x,y) = 15 x^1/3  y^2/3 

Zu einer Funktion gehört nicht nur eine Funktionsforschrift, sondern auch noch ein Definitionsbereich. Der wird oft nicht explizit angegeben, ist aber immer bei der Interpretation von Rechenergebnissen zu berücksichten.

> Es handelt sich hierbei um eine sog. Cobb-Douglas- Produktionsfunktion

Definitionsbereich ist also {(x,y) ∈ℝ² | x ≥ 0, y ≥ 0}

> die Nebenbedingung nach x umzustellen und in f einzusetzen, die Ableitung zu bilden und das Extremum zu finden.

Ergibt x = 12500, y = 50000.

> Mein erster Ansatz war es die Nebenbedingung nach x umzustellen und in f einzusetzen, die Ableitung zu bilden

Wenn du mit diesem Ansatz eine Lösung findest, die außerhab des Definitionsbereiches liegt, dann liegt das Maximum am Rand des Definitionsbereiches.

Beispiel: Minimum von f(x) = x² im Intervall [2;7]. Mit deinem Ansatz käme x = 0 in Frage. Das liegt außerhalb des Definitionsbereiches. Also kann das Minimum nur bei x=2 oder x = 7 liegen. Es ist f(2) = 4 < 49 = f(7). Also liegt das Minimum bei x = 2.

Comments

Nur noch eine Frage: Muss ich überhaut die zweite Ableitung betrachten, wenn das Extremum schon am Rand liegt und die Funktion monoton steigend ist?

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Nein musst du nicht. Du darfst auch edes andere hinreichende Kriterium anwenden.

Answer 2

Dies liegt jedoch bei y= 5000000 was nicht sein
kann da x und y Kosten darstellen,
die nicht negativ sein können.

Nach meinem Matheprogramm kommt
x = 12500
y = 50000
für ein Extremum heraus.

Comments

Ich hab meine Fehler mittlerweile gefunden und habe auch für y= 50000 raus.

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Gut. Fülltext.

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Wenn, wie im Beispiel von Oswald, x =0 als Lösung
im Def-Bereich [2,7] entfält und die Funktion im Def-
Bereich monoton steigend ist kommt fürs Minimum
nur x = 2 und fürs Maximum nur x = 7 in Frage.