Warum ist lim x → 0 (sin(x)/x) = 1?

Question

ich verstehe nicht, warum

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin ( x ) } { x } = 1 $$

sein soll? Könnte mir das jemand erklären bitte? Vielleicht mit dem Einheitskreis?

Answer 1

Kennst du die Definition der Ableitung an der Stelle xo? 

Wähle xo = 0 

sin' (0) = lim (sin (0+h) / h )  
              = lim (sin h / h)         [ h gegen 0, 

                    statt x gegen 0] kommt aber auf dasselbe raus.

                 |sinus ableiten

= cos(0) = 1. 

Alternativ: (vgl. Diskussion im Kommentar):

Im Einheitskreis ist sin x eine vertikale Strecke an der Stelle x. x ist zusätzlich (in Bogenmass, deshalb nennt man das Bogenmass) die Länge des Bogens zwischen der x-Achse und dem Schnittpunkt der Vertikalen mit dem Kreis. Zeichne das mal ein.

Je näher x≠0 bei 0,

desto genauer ist sin x bei x  |:x
Darum sin x / x bei 1

 

Comments

Also es geht dabei um die Herleitung der Ableitung des Sinus. Tatsächlich war es auch

lim h -> 0 sin(h)/h = 1

, ich hatte nur x als andere Bezeichnung verwendet.

 

Wäre also gut, wenn man das erklären könnte, ohne eine Ableitung oder Regel von l'Hospital zu verwenden ;) Ich habe es auch leider immernoch nicht verstanden.

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Im Einheitskreis ist sin x eine vertikale Strecke an der Stelle x. x ist zusätzlich (in Bogenmass, deshalb nennt man das Bogenmass) die Länge des Bogens zwischen der x-Achse und dem Schnittpunkt der Vertikalen mit dem Kreis. Zeichne das mal ein.

Je näher x≠0 bei 0,

desto genauer ist sin x bei x  |:x
Darum sin x / x bei 1

Ist das jetzt verständlicher?

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Ahh, ja jetzt ist es mir klar. Danke :)

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Noch eine kurze Frage:

Beim Differenzenquotienten ist das dann ja (sin(x)-sin(x0))/(x-x0). Die h-Methode ist doch quasi nur eine Substitution, oder? Man setzt h = x - x0 und wenn man das nach x umstellt x = h + x0 und das kann man jetzt einsetzen wodurch man (sin(h + x0) - sin(x0))/h erhält und davon den Grenzwert jetzt etwas einfacher bilden kann, oder?

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Das was du zum Differenzenquotienten schreibst, ist ok. Ich benutze eigentlich immer gleich x = xo + h.

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Beweise dieser Art setzen voraus, dass die Sinus-Funktion differenzierbar ist. Mathematisch gesehen daher nicht so interessant, da zu schwere Geschütze aufgefahren werden.

Mich persönlich überzeugt folgender Beweis eher (der mit den Definitionen der trigonometrischen Funktionen auskommt):

Am Einheitskreis macht man sich leicht klar, dass |sin(x)| <= |x| <= |tan(x)| gilt. Daraus folgt sofort:

|sin(x) / tan(x)| <= |sin(x) / x| <= 1 oder einfacher |cos(x)| <= |sin(x) / x| <= 1. Lässt man nun x gegen 0 streben, so strebt |cos(x)| gegen 1, und nach den Regeln der Grenzwertbildung muss dann auch |sin(x) / x| gegen 1 streben.

q.e.d.

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bg8100: Da hast du mit deiner Ungleichungskette schön gezeigt, was ich oben im Kommentar gemeint hatte. 

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Die Aussage, dass etwas "nahe bei etwas anderem" ist, hilft allerdings nicht viel weiter, wenn man etwas über den Quotienten wissen will. Z.B. ist x^4 sehr nahe bei x^2, je näher x an Null ist. Trotzdem komvergiert der Quotient hier gegen 0.

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Wie gesagt, du hast das recht schön gezeigt, 

Nur was macht dich so sicher beim 1. Teil von

 |sin(x)| <= |x| <= |tan(x)| ? 

Dass die Strecke halbe Sekante kleiner gleich dem haben Boden |x| ist, leuchtet ein.

Aber wie zeigst du

 |x| <= |tan(x)|  genau? 

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Man kann folgendermaßen argumentieren. sin(x) durch x ist letzten Endes so was wie das Steigungsdreieck an der Sinusfunktion. Wenn man damit jetzt immer weiter zum Nullpunkt wandert, hat man damit die Steigung der Sinusfunktion im Nullpunkt erwischt. Wenn man jetzt mal von der anderen Seite kommt und sich fragt wie groß diese Steigung ist, dann könnte man darauf kommen, das die Ableitung vom Sinus ja der Cosinus ist. Und der ist an der Stelle Null gleich 1. 

Answer 2

Wenn wir 0 Einsetzen steht dort Null durch Null. Damit durfen wir die Regel von Hospital anwenden und Zähler und Nenner getrennt ableiten.

cos(x) / 1

Wenn wir hier x = 0 einsetzen erhalten wir 1/1 und das ist 1 damit ist der Grenzwert 1.

Comments

Danke, aber mit der Regel von l'Hospital bin ich nicht wirklich vertraut. Kann man es nicht logisch erklären?

Answer 3

eine weitere Möglichkeit den Grenzwert zu bestimmen besteht in der Reihenentwicklung des Sinus.
sin(x) = x¹/1! - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! +-...
sin(x)/x = 1 - x²/6 + x⁴/120 - x⁶/5040 +-...
lim_x→0sin(x)/x = 1.

Answer 4

lim x -> 0 (sin(x)/x) = 1 gilt nur, wenn Du den Winkel in Radiant misst, nicht aber, wenn Du den Winkel z.B. in Grad misst. Wie aber definierst Du "Radiant"? Dazu brauchst Du pi. Wie aber defnierst Du pi?

Eigentlich kannst Du nur zeigen, dass lim x -> 0 (sin(x)/x) existiert und von 0 verschieden ist; wenn Du dann die Einheit der Winkelmessung so wählst, dass lim x -> 0 (sin(x)/x) = 1gilt, hast Du damit pi implizit definiert.

lim x -> 0 (sin(x)/x) = 1ist also kein Satz, den Du beweisen kannst, sondern die implizite Definition von pi.

Helmut

Answer 5

sin (x) / x liegt zwischen cos (x/2) = sin (X) / s und cos^2 (x/2) = sin (x) / u ( für x=0 also zwischen 1und 1

Wobei s die Seite des inneren n-Ecks und u die des umschließenden n - Ecks ist.

Allgemein gilt, s = cos (x/2) u

x in Bogenmaß

x/2 ist der Winkel zwischen s und der Höhe ( sin(x) )

Einfach den Abschnitt aufzeichnen, dann sollte es mit Realschulwissen gehen.

π liegt ja auch zwischen dem halben Umfang des eingeschlossen gleichmäßigem und dem entsprechenden äußeren n-Ecks.

Comments

Hübsche Ergänzung. Danke.

Die Frage stammt aus 2013, hat schon einige Antworten, kommt aber immer wieder.

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2013, das ist ja noch recht aktuell, ich hatte auch schon Probleme gelöst. die vor mir schon um 1700 gelöst wurden. Ich hatte es nur geschrieben, weil oft gesagt wird, dass solche Aufgaben nicht mit dem Schulwissen gelößt werden können.

Trotzdem danke ich für die Antwort.

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Mein Kommentar war auch als Lob gemeint.