Du hast 3 Fragen miteinander vermischt!
a) Überschrift:
lim sin(x), x -> 0
=0 da sin(x)=x - x³/6 + x^5/120 + ...winziger Rest
und dieses Polynom ist bei x=0 auch 0 (man kann x ausklammern und Satz vom Null-Produkt anwenden)
Außerdem ist sin(0) ein bekannter Wert, den auch niemand anzweifelt, da es keine Polstelle gibt.
b) im Video geht es um
lim sin(x)/x, x -> 0
und hier ist das 1/x bei x gegen 0 eine mögliche undefinierte Polstelle, die genauer untersucht werden muss!
Er hat es mit l'Hospital gemacht.
Ich hätte es mit der Reihenentwicklung gemacht: sin(x)/x= x/x - x³/6/x +...
=1 + x²/... bei x=0 bleibt 1 über
c) In Deinem Text fragst Du aber nach
lim sin(x), x ->∞
und das ist UNBESTIMMT (kein Grenzwert), da bis in aller Ewigkeit das Funktionsergebnis weiter zw. -1 und 1 schwankt!
