Existiert folgender Grenzwert, wenn ja berechnen sie diesen: cos^2(x) / ln(x) für x gegen unendlich

Question

$$ lim\quad x->\infty \quad \frac { cos^{ 2 }(x) }{ ln(x) }  $$

Hallo ihr lieben, das Ist die letzte Klausuraufgaben gewesen.

Ich würde jetzt sagen es existiert kein Grenzwert, stimmt das aber auch? (Wobei ich mich sowas als Klausur aufgaben schon wundern würde)

Kann mir die Aufgabe jemand erklären? :)

Liebe Grüße

Comments

Hast Du schon das Einschließungskriterium ins Auge gefasst?

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Der Zaehler ist unentschlossen, aber beschraenkt, der Nenner geht mit x gegen unendlich. Na?

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ne kenne glaub dieses kriterium nicht, ich google es mal, danke.

Answer 1

cos^2(x) liegt sicher immer  zwischen 0 und 1 (einschließlich.

also der Bruch zwischen o und  1 / ln(x)

Da ln(x) gegen unendlich geht, geht  1/ln(x) gegen 0, also liegt

dein Bruch immer zwischen 0 und etwas, das gegen 0 geht, hat

also selbst den Grenzwert 0.

Comments

hey erstmal vielen dank für deine antwort.

kannst du mir vielleicht aufschreiben wie ich es hinschreiben müsste in der klausur?

also da der grenzwert exisitert soll ich ihn ja dann auch berechnen, aber mich verwirrt das total, da ich ja nicht mal von der logik sehe dass es gegen 0 geht.

normalerweise setzt man es ja ein also unendlch, aber hä :D lim cos^2(∞)/ln(∞) .. kommt dann ∞/∞ un dann macht man weiter mit l'hospital?

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Du kannst folgendermaßen abschätzen:
$$ \lim_{x\to\infty} \frac { 0 }{ \ln(x) } \le \lim_{x\to\infty} \frac { \cos^2(x) }{ \ln(x) } \le \lim_{x\to\infty} \frac { 1 }{ \ln(x) } $$Die untere und die obere Schranke konvergieren offensichtlich gegen 0, so dass nur noch
$$ 0 \le \lim_{x\to\infty} \frac { \cos^2(x) }{ \ln(x) } \le 0 $$betrachtet werden muss. Was könnte nun der gesuchte Grenzwert sein?

(l'Hospital kann hier natürlich nicht angewendet werden!)

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Ich würde es so aufschreiben:

Für alle x>0 gilt  0 ≤ cos^2(x) / ln(x)  ≤ 1 / ln(x)

wegen lim für x gegen unendlich von 1/ln(x)   = 0

gilt auch lim für x gegen unendlich von cos^2(x) / ln(x) .

Das genügt.

Und für deine persönliche Einsicht musst du für x schon eine

sehr sehr große Zahl einsetzen, etwa x=e^1000

denn erst bei dieser großen Zahl, die ein billiger

Taschenrechner gar nicht mehr darstellt ist ja der

Logarithmus = 1000, also immer noch nicht so wahnsinnig groß.

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"Ich würde es so aufschreiben:

Für alle x>0 gilt  0 ≤ cos²(x) / ln(x)  ≤ 1 / ln(x)"

Ich nicht. Das ist nämlich falsch. Besser wäre "für hinreichend großes x" oder auch "für alle x>1".

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OK, da hast du völlig recht; Hatte die negativen Log. glatt übersehen.

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danke euch:)

ich kenne das gar nicht mit der ungleichung, als was müsste ich es im internet suchen?

ich schreib es mir mal aufs erlaubte hilfsblatt x) vielleicht hilfts ja trotzdem in der klausur.

danke euch nochmal

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"ich kenne das gar nicht mit der ungleichung, als was müsste ich es im internet suchen?"

Sandwich-Theorem.

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lol, dachte kurz "will der mich verarschen" :D
hab von dem noch nie was gehört, danke dir !