Bestimme den Grenzwert von (x^2 + 2x-4)/(4x^2- x +1) für x gegen 1, falls er existiert.

Question

Existenz des Grenzwertes bestimmen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+2 x-4}{4 x^{2}-x+1} \)

x ≠ 1

Untersuche ich den rechts- und linksseitigen Grenzwert? Und wenn die gleich sind, existiert der Grenzwert? Ich glaube nämlich, ich werfe da gerade was mit "stetig fortsetzbar" durcheinander.

Answer 1

Da der Nenner stetig und an der Stelle x=1 nicht 0:

4*1^2 - 1  + 1 = 4≠0, und Zähler ebenfalls stetig,

kannst du einfach oben und unten für x die Zahl 1 einsetzen.

Grenzwert ist daher (1+2-4)/(4*1^2 - 1 +1) = -1/4

Comments

Kann ich das immer so machen?

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Da der Nenner stetig und an der Stelle x=1 nicht 0:

Diesen Teil musst du schon prüfen!

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Bei diesem Grenzwert ist der Zähler ja 0.
Habe ich das dann richtig verstanden, dass der Grenzwert nicht existiert?

lim (x^k-1)/(x-1)
x→1
x ≠1

oder

lim x ⌊1/x⌋
x→0
 

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Wenn Zähler und Nenner 0 sind, darf man Hospital anwenden.

hier: (falls k≠0)

= lim ( kx^{k-1} / 1 )

nun x=1 einsetzen.

Grenzwert ist k, falls k≠0.