$$Grenzwertvermutung:\quad x\quad ist\quad Grenzwert\quad von\quad { x }_{ n }\quad für\quad n\quad gegen\quad unendlich:\quad \\ x=2x-ax²\quad nach\quad Umstellen\\ wäre\quad der\quad zu\quad vermutende\quad Grenzwert\quad x=\frac { 1 }{ a }$$
$$Zu\quad zeigen:\quad { x }_{ n }\le \frac { 1 }{ a } \quad (Beschränktheit)\\ \\ Für\quad { x }_{ 1 }\quad ist:\quad { x }_{ 1 }=2{ x }_{ 0 }-a{ x }_{ 0 }²<\frac { 2 }{ a } -\frac { 1 }{ a } \quad =\quad \frac { 1 }{ a } \\ { x }_{ n+1 }=2{ x }_{ n }-a{ x }_{ n }²\le \frac { 2 }{ a } -\frac { 1 }{ a } =\frac { 1 }{ a } \quad unter\quad der\quad Voraussetzung\quad dass\quad { x }_{ n }\le \frac { 1 }{ a } $$
$$Vermutung:\quad { x }_{ n }\quad ist\quad monoton\quad steigend:\\ \\ { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n }=2{ x }_{ n }-a{ x }_{ n }²-{ x }_{ n }={ x }_{ n }-a{ x }_{ n }²={ x }_{ n }(1-a{ x }_{ n })\quad \\ \\ darauf\quad die\quad Beschränktheit\quad von\quad { x }_{ n }\quad angewendet\quad (1-a{ x }_{ n })\ge 0\quad \\ und\quad { x }_{ n }>0\quad denn\quad { x }_{ 0 }>0\\ \\ also\quad ist\quad { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n }\ge 0$$
