Konvergenzradius angegeben der gegebenen Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Geben Sie den Entwicklungspunkt und den Konvergenzradius der Potenzreihe
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{3}} x^{n} \)

Also der Entwicklungspunkt ist 0 und nach Quotientenkriterium komme ich auf den Konvergenzradius | x - 0| < -1/2 ist das richtig?

Answer 1

| x - 0| ist nicht der Konvergenzradius und der Konvergenzradius ist nicht kleiner als -1/2.

Answer 2

Aloha :)

Der Entwicklungspunkt der Potenzreihe$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n}{n^3}\,x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n}{n^3}\,(x-\pink{0})^n$$ist tatsächlich \(\pink{x_0=0}\).

Der Konvergenzradius beträgt:$$\pink r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-2)^n}{n^3}}{\frac{(-2)^{n+1}}{(n+1)^3}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-2)^n}{n^3}\cdot\frac{(n+1)^3}{(-2)^{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-2)^n}{(-2)^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)^3}{n^3}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{1}{(-2)}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\right|=\left|\frac{1}{(-2)}\cdot(1+0)^3\right|\pink{=\frac12}$$

Comments

Achso stimmt habe Radius verwechselt, aber das heißt R = 1/2 und daher konvergiert es für alle x aus |x - x(0)| < R also |x| < 1/2

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Die Intervallränder -1/2 und +1/2 müssen separat untersucht werden.

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okay, aber das wäre ja schon der konvergenzbereich oder? und das ist ja in der aufgabe nicht gefragt