Zu 1.:
Seien \(a,b\in I\cap J\Rightarrow a,b\in I \wedge a,b\in J\).
Da \(I\) und \I(J\) Ideale sind, folgt
\(a+b\in I\wedge a+b\in J\), also \(a+b\in I\cap J\).
Sei \(a\in I\cap J\) und \(r\in R\), also
\(a\in I\wedge a\in J\). Da \(I\) und \(J\) Ideale sind,
gilt \(r\cdot a\in I\wedge r\cdot a \in J\), also
\(r\cdot a\in I\cap J\).
Zu 2.:
Das Prinzip ist ähnlich:
Sind \(a,b\in I+J\), dann gibt es \(a_I\in I\),
\(a_J\in J\), \(b_I\in I\), \(b_J\in J\) mit
\(a=a_I+a_J, \; b=b_I+b_J\).
Nun benutze wieder, dass \(I\) und \(J\) Ideale sind.
Zu 3.:
Da die Summe zweier endlicher Summen der angegebenen Gestalt
wieder eine solche Summe ist, ist die additive
Abgeschlossenheit klar.
Nun sei \(s=\sum a_ib_i\in I\cdot J\) eine endliche Summe
mit \(a_i\in I\) und \(b_i\in J\) und es sei \(r\in R\).
Dann ist
\(r\cdot s=\sum r\cdot(a_ib_i)=\sum (r\cdot a_i)b_i\in I\cdot J\),
da mit \(a_i\in I\) auch \(r\cdot a_i\in I\) ist; denn \(I\) ist Ideal.
