Zeigen Sie, dass I ∩ J, I + J und IJ Ideale sind, und dass IJ ⊆ I ∩ J gilt

Question

Aufgabe:

Es sei R ein kommutativer Ring und I, J ⊆ R Ideale. Zeigen Sie, dass I ∩ J, I + J und IJ
Ideale sind, und dass IJ ⊆ I ∩ J gilt

Könnte mir jemand helfen bitte die Aufgaben zu lösen?

Vielen :)

Answer 1

Def. Ideal benutzen:

I ∩ J:

0 ∈ I ∩ J weil  0 ∈ I und 0 ∈ J

Für alle a,b  ∈ I ∩ J gilt a+b  ∈ I ∩ J

stimmt, weil dann ja a und b aus I also auch a+b ∈ I denn I ist ein Ideal.

und auch a und b aus J also auch a+b ∈ J denn J ist ein Ideal.

Sei nun r∈R und a ∈ I ∩ J

Dann ist a ∈ I und weil I ein Ideal ist auch r*a ∈ I.

Ebenso für J, also r*a ∈ I ∩ J.

Damit ist für I ∩ J.

Versuche doch die anderen selbst mal.

Comments

Das gleiche oder?

Def. Ideal benutzen:

I + J:

0 ∈ I ∩ J weil 0 ∈ I und 0 ∈ J

Für alle a,b ∈ I + J gilt a+b ∈ I + J

stimmt, weil dann ja a und b aus I also auch a+b ∈ I denn I ist ein Ideal.

und auch a und b aus J also auch a+b ∈ J denn J ist ein Ideal.

Sei nun r∈R und a ∈ I + J

Dann ist a ∈ I und weil I ein Ideal ist auch r*a ∈ I.

Ebenso für J, also r*a ∈ I + J.

Damit ist für I + J.

Def. Ideal benutzen:

IJ:

0 ∈ IJ weil 0 ∈ I und 0 ∈ J

Für alle a,b ∈ IJ gilt a+b ∈ IJ

stimmt, weil dann ja a und b aus I also auch a+b ∈ I denn I ist ein Ideal.

und auch a und b aus J also auch a+b ∈ J denn J ist ein Ideal.

Sei nun r∈R und a ∈ IJ

Dann ist a ∈ I und weil I ein Ideal ist auch r*a ∈ I.

Ebenso für J, also r*a ∈ IJ.

Damit ist für IJ.

---

Ich korrigiere mal ein wenig

0 ∈ I + J weil 0 ∈ I und 0 ∈ J und 0+0=0

Für alle a,b ∈ I + J gilt a+b ∈ I + J

stimmt, weil dann ja a und b aus I also auch a+b ∈ I denn I ist ein Ideal.

nein, hier musst du genauer argumentieren:

Wenn a,b ∈ I + J

dann gibt es a1 ∈ I und a2 ∈ J mit a=a1+a2

und b1 ∈ I und b2 ∈ J mit b=b1+b2

und weil I und J Ideale sind ist a1+b1 ∈ I und

a2+b2 ∈ J und dann ist   (a1+b1 )+(a2+b2) ∈ I + J

und weil R kommutativ ist , gilt

       (a1+b1 )+(a2+b2) =  (a1+a2 )+(b1+b2) = a+b

         also auch a+b ∈ I+J

Sei nun r∈R und a ∈ I + J.

Hier muss du wieder beginnen mit

dann gibt es a1 ∈ I und a2 ∈ J mit a=a1+a2

und herleiten    r*a ∈ I + J.

und für I*J entsprechend vorgehen.

---

First, since \( I, J \) are ideals, then \( 0 \in I \) and \( 0 \in J . \) Hence \( 0=0 \cdot 0 \in I J, \) so it is nonempty. Next, let \( \sum \limits_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}, \sum \limits_{i=1}^{j} a_{i}^{\prime} b_{i}^{\prime} \in I J . \quad \) Define \( a_{i}^{\prime \prime}=\left\{\begin{array}{ll}a_{i} & i \leq k \\ -a_{i-k}^{\prime} & k+1 \leq i \leq k+j\end{array},\right. \) and
\( b_{i}^{\prime \prime}=\left\{\begin{array}{ll}b_{i} & i \leq k \\ b_{i-k}^{\prime} & k+1 \leq i \leq k+j\end{array}\right. \) similarly. We have \( a_{i}^{\prime \prime} \in I \) and \( b_{i}^{\prime \prime} \in J \) by construc-
tion, and \( \sum \limits_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}-\sum \limits_{i=1}^{j} a_{i}^{\prime} b_{i}^{\prime}=\sum \limits_{i=1}^{j+k} a_{i}^{\prime \prime} b_{i}^{\prime \prime} \in I J . \) Lastly, for any \( r \in R, \) we have
\( r \sum \limits_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}=\sum \limits_{i=1}^{k}\left(r a_{i}\right) b_{i} \in I J, \) since each \( r a_{i} \in I \)

Richtig das für meine Aufgabe IJ ?