Welche Verteilungsfunktionen besitzen Zufallsvariablen

Question

Die Zufallsvariable \( X \) besitze die stetige Verteilungsfunktion \( F \). Welche Verteilungsfunktionen besitzen die Zufallsvariablen

(a) \( X^{2} \),
(b) \( |X| \),
(c) \( -X \),
(d) \( \frac{1}{X} \), wobei hier \( X>0 \),
(e) \( \exp (-X) ? \)

Wie genau bestimme ich das?

Comments

Der Transformationssatz für Dichten könnte hilfreich sein

Answer 1

(a) \(P(X^2 \leq x)\) mittels der Verteilungsfunktion von \(X\) ausdrücken.

\(\begin{aligned} F_{X^{2}}\left(x\right) & =P\left(X^{2}\leq x\right)\\ & =P\left(|X|\leq\sqrt{x}\right)\\ & =P\left(-\sqrt{x}\leq X\leq\sqrt{x}\right)\\ & =P\left(-\sqrt{x}<X\leq\sqrt{x}\right)\\ & =\begin{cases} F\left(\sqrt{x}\right)-F\left(-\sqrt{x}\right) & 0\leq x\\ 0 & x<0 \end{cases} \end{aligned}\)