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Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass die folgende Rückwärtsdifferenzgleichung einen Fehlerordnung von zwei (O(Δx2)) \left(O\left(\Delta x^{2}\right)\right) hat:

f(x) : {2f(x)5f(xΔx)+4f(x2Δx)f(x3Δx)}/Δx3 f^{\prime \prime}(x):\{2 f(x)-5 f(x-\Delta x)+4 f(x-2 \Delta x)-f(x-3 \Delta x)\} / \Delta x^{3}

Lösung: ?

Aufgabe 2: Welche Vorteile ergeben sich für höhere Fehlerordnungen?

Lösung 2: Höhere Fehlerordnungen haben den Vorteil, dass sie genauere Approximationen der Ableitungen liefern. Dies ist besonders wichtig, wenn die Funktion sich schnell ändert.

Kann mir bitte Aufgabe 1 step by Step lösen, ich weiss nicht wie ich so eine Aufgabe lösen soll!

MG

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Tipp vorweg: Schreibe hh anstelle von Δx\Delta x (ist übersichtlicher).

Zur Lösung: Setze für f(xh),f(x2h),f(x3h)f(x-h),f(x-2h),f(x-3h) die jeweilige Taylorreihe ein, bis zu h4h^4 reicht (da nach Kürzen dann O(h2)O(h^2) bleibt, wie gewünscht).

Also: einsetzen und zusammenfassen. Bei richtiger Rechnung fällt einiges raus. Die rechte Seite (also nach dem :) multipliziert mit hh sollte mit f(x)f''(x) anfangen, und was danach kommt, ist eben der gesuchte Fehler.

Kann auch sein, dass da ein Fehler ist und im Nenner nur h2h^2 stehen sollte (anstelle h3h^3), dann muss die rechte Seite nicht mehr mit hh multipliziert werden. Das hängt von Eurer Def. von Fehlerordnung ab (nachschlagen!).

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1. Für h=Δx h=\Delta x :
f(xΔx)=f(x)Δxf(x)+Δx22f(x)Δx36f(x)+O(Δx4) f(x-\Delta x)=f(x)-\Delta x f^{\prime}(x)+\frac{\Delta x^{2}}{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{\Delta x^{3}}{6} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)
2. Für h=2Δx h=2 \Delta x :
f(x2Δx)=f(x)2Δxf(x)+2Δx2f(x)43Δx3f(x)+O(Δx4) f(x-2 \Delta x)=f(x)-2 \Delta x f^{\prime}(x)+2 \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{4}{3} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)
3. Für h=3Δx h=3 \Delta x :
f(x3Δx)=f(x)3Δxf(x)+92Δx2f(x)92Δx3f(x)+O(Δx4) f(x-3 \Delta x)=f(x)-3 \Delta x f^{\prime}(x)+\frac{9}{2} \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{9}{2} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)

wenn ich nun diese gleichungen einsetzen sollte habe ich eine lange Gleichung die ich zusammenfassen muss. Geht es nicht irgendwie einfacher als einsetzen und zusammenfassen?

Nein, geht leider nicht. Mein Tipp war ja h=Δxh=\Delta x zu verwenden, dann sieht es nicht mehr soo schlimm aus. Du kannst auch diese drei Ausdrücke mit den jeweiligen Faktoren aus der Formel (also 5,4,1-5,4,-1) multiplizieren und dann alles addieren, steht dann schön untereinander, dann brauchst Du den langen Term auch nicht.

Das schlimmste hast Du ja schon hinter Dir.

können Sie das bitte genauer beschreiben oder ein Beispiel geben : Du kannst auch diese drei Ausdrücke mit den jeweiligen Faktoren aus der Formel (also 5,4,1-5,4,-1) multiplizieren und dann alles addieren.

Also ich hab 3 Glg. und 3 werte (-5,4,-1)

1. Gleichung: mit -5? alle Terme multiplizieren?

2. Gleichung: mit 4 ? alle Terme multiplizieren?

3. Gleichung: mit -1?  alle Terme multiplizieren?

Natürlich genau so. Du willst es doch in den Ausdruck in {...}\{...\} in der Frage ganz oben einsetzen.

Und um z.B. 5f(xh)-5f(x-h) zu bekommen, musst Du den von Dir gefundenen Ausdruck für f(xh)f(x-h) mit 5-5 multiplizieren. Genauso mit den anderen.

Also:

f(x)=f(x)f(x)=f(x)

5f(xh)=...-5f(x-h)=...

4f(x2h)=...4f(x-2h)=...

f(x3h)=...-f(x-3h)=...


Und nun alle linken Seiten addiert (gesuchter Ausdruck) = alle rechten Seiten addiert, vereinfachen.

 5f(xh) -5 f(x-h)   =  5[f(x)Δxf(x)+Δx22f(x)Δx36f(x)+O(Δx4)] -5\left[f(x)-\Delta x f^{\prime}(x)+\frac{\Delta x^{2}}{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{\Delta x^{3}}{6} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right]


4f(x2h) 4 f(x-2 h) =  4[f(x)2Δxf(x)+2Δx2f(x)43Δx3f(x)+O(Δx4)] 4\left[f(x)-2 \Delta x f^{\prime}(x)+2 \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{4}{3} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right]


f(x3h) -f(x-3 h) [f(x)3Δxf(x)+92Δx2f(x)92Δx3f(x)+O(Δx4)] -\left[f(x)-3 \Delta x f^{\prime}(x)+\frac{9}{2} \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{9}{2} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right]

1. Für den f(x) f^{\prime}(x) Term:
5h+42h13h=5h8h+3h=0h -5 \cdot-h+4 \cdot-2 h-1 \cdot-3 h=5 h-8 h+3 h=0 h
Dies zeigt, dass der Koeffizient der ersten Ableitung 0 ist.
2. Für den f(x) f^{\prime \prime}(x) Term:
512h2+42h2192h2=52h2+8h292h2=1h2 -5 \cdot \frac{1}{2} h^{2}+4 \cdot 2 h^{2}-1 \cdot \frac{9}{2} h^{2}=-\frac{5}{2} h^{2}+8 h^{2}-\frac{9}{2} h^{2}=1 h^{2}
Dies zeigt, dass der Koeffizient der zweiten Ableitung 1 ist.
3. Für den f(x) f^{\prime \prime \prime}(x) Term:
516h3+443h3192h3=56h3163h3+92h3=0h3 -5 \cdot-\frac{1}{6} h^{3}+4 \cdot-\frac{4}{3} h^{3}-1 \cdot-\frac{9}{2} h^{3}=\frac{5}{6} h^{3}-\frac{16}{3} h^{3}+\frac{9}{2} h^{3}=0 h^{3}
Dies zeigt, dass der Koeffizient der dritten Ableitung 0 ist.

Für den f(x)f''(x) Term ist der Koeffizient 1, was bedeutet, dass der Fehler der Differenzformel für die zweite Ableitung der Funktion f(x)f(x) in der Ordnung von h2h^2 liegt?

Ok, Du hast es verstanden (auch wenn Du das hh anscheinend nicht magst;-)). Verwende aber bei negativen Faktoren Klammern, also nicht 5h-5\cdot -h, sondern 5(h)-5\cdot(-h). Man kommt um diese Ausdrücke nicht herum, aber man kann es sich schon übersichtlicher machen.

Beim Zusammenfassen solltest Du nach Potenzen von hh vorgehen, nicht nach den Ableitungen (kommt hier auf's selbe raus, kann aber mal bei anderen Formeln nen Unterschied machen).

Zum Abschluss der Aufgabe musst Du nun aber klar feststellen, was (nach Einsetzen und Vereinfachen) die gesamte Differenzenformel ergibt (also das nach dem : in der Aufgabe).

alles klar vielen Dank

Zu der Differenzenformel kommen noch die 2f(x)2f(x) dazu und am Ende hat man:

f(x)+O(h2)f''(x)+O(h^2). Wenn man im Nenner h2h^2 hat, nicht h3h^3. Prüfe nochmal die Formel und die Def. von Fehlerordnung.

alles klar, vielen dank für die Info....

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