\( -5 f(x-h) \) = \( -5\left[f(x)-\Delta x f^{\prime}(x)+\frac{\Delta x^{2}}{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{\Delta x^{3}}{6} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right] \)
\( 4 f(x-2 h) \) = \( 4\left[f(x)-2 \Delta x f^{\prime}(x)+2 \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{4}{3} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right] \)
\( -f(x-3 h) \) = \( -\left[f(x)-3 \Delta x f^{\prime}(x)+\frac{9}{2} \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{9}{2} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right] \)
1. Für den \( f^{\prime}(x) \) Term:
\( -5 \cdot-h+4 \cdot-2 h-1 \cdot-3 h=5 h-8 h+3 h=0 h \)
Dies zeigt, dass der Koeffizient der ersten Ableitung 0 ist.
2. Für den \( f^{\prime \prime}(x) \) Term:
\( -5 \cdot \frac{1}{2} h^{2}+4 \cdot 2 h^{2}-1 \cdot \frac{9}{2} h^{2}=-\frac{5}{2} h^{2}+8 h^{2}-\frac{9}{2} h^{2}=1 h^{2} \)
Dies zeigt, dass der Koeffizient der zweiten Ableitung 1 ist.
3. Für den \( f^{\prime \prime \prime}(x) \) Term:
\( -5 \cdot-\frac{1}{6} h^{3}+4 \cdot-\frac{4}{3} h^{3}-1 \cdot-\frac{9}{2} h^{3}=\frac{5}{6} h^{3}-\frac{16}{3} h^{3}+\frac{9}{2} h^{3}=0 h^{3} \)
Dies zeigt, dass der Koeffizient der dritten Ableitung 0 ist.
Für den \(f''(x)\) Term ist der Koeffizient 1, was bedeutet, dass der Fehler der Differenzformel für die zweite Ableitung der Funktion \(f(x)\) in der Ordnung von \(h^2\) liegt?