Fehlerordnungen lösen von Rückwärtsdifferenzgleichungen

Question

Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass die folgende Rückwärtsdifferenzgleichung einen Fehlerordnung von zwei \( \left(O\left(\Delta x^{2}\right)\right) \) hat:

\( f^{\prime \prime}(x):\{2 f(x)-5 f(x-\Delta x)+4 f(x-2 \Delta x)-f(x-3 \Delta x)\} / \Delta x^{3} \)

Lösung: ?

Aufgabe 2: Welche Vorteile ergeben sich für höhere Fehlerordnungen?

Lösung 2: Höhere Fehlerordnungen haben den Vorteil, dass sie genauere Approximationen der Ableitungen liefern. Dies ist besonders wichtig, wenn die Funktion sich schnell ändert.

Kann mir bitte Aufgabe 1 step by Step lösen, ich weiss nicht wie ich so eine Aufgabe lösen soll!

MG

Answer 1

Tipp vorweg: Schreibe \(h\) anstelle von \(\Delta x\) (ist übersichtlicher).

Zur Lösung: Setze für \(f(x-h),f(x-2h),f(x-3h)\) die jeweilige Taylorreihe ein, bis zu \(h^4\) reicht (da nach Kürzen dann \(O(h^2)\) bleibt, wie gewünscht).

Also: einsetzen und zusammenfassen. Bei richtiger Rechnung fällt einiges raus. Die rechte Seite (also nach dem :) multipliziert mit \(h\) sollte mit \(f''(x)\) anfangen, und was danach kommt, ist eben der gesuchte Fehler.

Kann auch sein, dass da ein Fehler ist und im Nenner nur \(h^2\) stehen sollte (anstelle \(h^3\)), dann muss die rechte Seite nicht mehr mit \(h\) multipliziert werden. Das hängt von Eurer Def. von Fehlerordnung ab (nachschlagen!).

Comments

1. Für \( h=\Delta x \) :
\( f(x-\Delta x)=f(x)-\Delta x f^{\prime}(x)+\frac{\Delta x^{2}}{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{\Delta x^{3}}{6} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right) \)
2. Für \( h=2 \Delta x \) :
\( f(x-2 \Delta x)=f(x)-2 \Delta x f^{\prime}(x)+2 \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{4}{3} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right) \)
3. Für \( h=3 \Delta x \) :
\( f(x-3 \Delta x)=f(x)-3 \Delta x f^{\prime}(x)+\frac{9}{2} \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{9}{2} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right) \)

wenn ich nun diese gleichungen einsetzen sollte habe ich eine lange Gleichung die ich zusammenfassen muss. Geht es nicht irgendwie einfacher als einsetzen und zusammenfassen?

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Nein, geht leider nicht. Mein Tipp war ja \(h=\Delta x\) zu verwenden, dann sieht es nicht mehr soo schlimm aus. Du kannst auch diese drei Ausdrücke mit den jeweiligen Faktoren aus der Formel (also \(-5,4,-1\)) multiplizieren und dann alles addieren, steht dann schön untereinander, dann brauchst Du den langen Term auch nicht.

Das schlimmste hast Du ja schon hinter Dir.

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können Sie das bitte genauer beschreiben oder ein Beispiel geben : Du kannst auch diese drei Ausdrücke mit den jeweiligen Faktoren aus der Formel (also \(-5,4,-1\)) multiplizieren und dann alles addieren.

Also ich hab 3 Glg. und 3 werte (-5,4,-1)

1. Gleichung: mit -5? alle Terme multiplizieren?

2. Gleichung: mit 4 ? alle Terme multiplizieren?

3. Gleichung: mit -1?  alle Terme multiplizieren?

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Natürlich genau so. Du willst es doch in den Ausdruck in \(\{...\}\) in der Frage ganz oben einsetzen.

Und um z.B. \(-5f(x-h)\) zu bekommen, musst Du den von Dir gefundenen Ausdruck für \(f(x-h)\) mit \(-5\) multiplizieren. Genauso mit den anderen.

Also:

\(f(x)=f(x)\)

\(-5f(x-h)=...\)

\(4f(x-2h)=...\)

\(-f(x-3h)=...\)

Und nun alle linken Seiten addiert (gesuchter Ausdruck) = alle rechten Seiten addiert, vereinfachen.

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 \( -5 f(x-h) \)  =  \( -5\left[f(x)-\Delta x f^{\prime}(x)+\frac{\Delta x^{2}}{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{\Delta x^{3}}{6} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right] \)

\( 4 f(x-2 h) \) =  \( 4\left[f(x)-2 \Delta x f^{\prime}(x)+2 \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{4}{3} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right] \)

\( -f(x-3 h) \) = \( -\left[f(x)-3 \Delta x f^{\prime}(x)+\frac{9}{2} \Delta x^{2} f^{\prime \prime}(x)-\frac{9}{2} \Delta x^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)+O\left(\Delta x^{4}\right)\right] \)

1. Für den \( f^{\prime}(x) \) Term:
\( -5 \cdot-h+4 \cdot-2 h-1 \cdot-3 h=5 h-8 h+3 h=0 h \)
Dies zeigt, dass der Koeffizient der ersten Ableitung 0 ist.
2. Für den \( f^{\prime \prime}(x) \) Term:
\( -5 \cdot \frac{1}{2} h^{2}+4 \cdot 2 h^{2}-1 \cdot \frac{9}{2} h^{2}=-\frac{5}{2} h^{2}+8 h^{2}-\frac{9}{2} h^{2}=1 h^{2} \)
Dies zeigt, dass der Koeffizient der zweiten Ableitung 1 ist.
3. Für den \( f^{\prime \prime \prime}(x) \) Term:
\( -5 \cdot-\frac{1}{6} h^{3}+4 \cdot-\frac{4}{3} h^{3}-1 \cdot-\frac{9}{2} h^{3}=\frac{5}{6} h^{3}-\frac{16}{3} h^{3}+\frac{9}{2} h^{3}=0 h^{3} \)
Dies zeigt, dass der Koeffizient der dritten Ableitung 0 ist.

Für den \(f''(x)\) Term ist der Koeffizient 1, was bedeutet, dass der Fehler der Differenzformel für die zweite Ableitung der Funktion \(f(x)\) in der Ordnung von \(h^2\) liegt?

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Ok, Du hast es verstanden (auch wenn Du das \(h\) anscheinend nicht magst;-)). Verwende aber bei negativen Faktoren Klammern, also nicht \(-5\cdot -h\), sondern \(-5\cdot(-h)\). Man kommt um diese Ausdrücke nicht herum, aber man kann es sich schon übersichtlicher machen.

Beim Zusammenfassen solltest Du nach Potenzen von \(h\) vorgehen, nicht nach den Ableitungen (kommt hier auf's selbe raus, kann aber mal bei anderen Formeln nen Unterschied machen).

Zum Abschluss der Aufgabe musst Du nun aber klar feststellen, was (nach Einsetzen und Vereinfachen) die gesamte Differenzenformel ergibt (also das nach dem : in der Aufgabe).

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alles klar vielen Dank

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Zu der Differenzenformel kommen noch die \(2f(x)\) dazu und am Ende hat man:

\(f''(x)+O(h^2)\). Wenn man im Nenner \(h^2\) hat, nicht \(h^3\). Prüfe nochmal die Formel und die Def. von Fehlerordnung.

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alles klar, vielen dank für die Info....