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Aufgabe 2 (7 Punkte)
Sei \( A \in \mathbb{R}^{m, n} \) mit SVD \( A=U \Sigma V^{\top} \) und Pseudoinverser \( A^{\dagger} \).
1. Bestimmen Sie für \( B:=V \Sigma^{\dagger} U^{\top} \) die Pseudoinverse \( B^{\dagger} \).
2. Zeigen Sie, dass \( \left(\Sigma^{\dagger}\right)^{\dagger}=\Sigma \).
3. Zeigen Sie mit 1. und 2., dass \( A^{\dagger \dagger}=A \).
4. Zeigen Sie, dass \( \left(A^{\dagger}\right)^{\top}=\left(A^{\top}\right)^{\dagger} \).
5. Zeigen Sie, dass für \( m=n \) und \( \operatorname{Rang}(A)=n \) gilt \( A^{\dagger}=A^{-1} \).
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
