Question

Bestimmen Sie, falls möglich, die Ordnung von modulo 18.

Text erkannt:

Gendt rial alle mäliclem oul numsen wen \( m=18 \)
- Was sind die Putearza und was irt a?
in dinl die Putenzen. Diec vasden clual die Teile vin \( \varphi(m) \) bstinnt.
\( u(m)=\varphi(18)=u\left(3^{2} \cdot 2\right)=\left(3^{2}-3\right)(2-1)=6 \)
\( \Rightarrow \) Die Putewen Jind \( 7,2,3,6 \).
\( \begin{aligned} a=1: & 1 \equiv 1(18) \\ a=5: \quad & \equiv 5(18) \\ 5^{2} & \equiv 7(18) \\ 5^{3} & \equiv-1(18) \\ 5^{6} & \equiv 1(18) \\ \Rightarrow & \cos _{18}(5)=6 \end{aligned} \)

wäre ich somit fertig? oder müsste ich noch weiterrechennen mit den anderen Nichtteilern?

Comments

Gendt rial alle mäliclem oul numsen wen \( m=18 \)- Was sind die Putearza und was irt a?

Mathe ist schon schwierig zu verstehen. ☺

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Bestimmen Sie, falls möglich, die Ordnung von modulo 18 und falls unmöglich, lassen Sie es bleiben.

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Von welcher Gruppe sprichst du denn, von

\((Z/18Z,+)\) oder von der primen Restklassengruppe

\(((Z/18Z)^*,\;\cdot)\) ?

Answer 1

Was ist denn genau deine Frage? Vielleicht hilft es schon, wenn du dir die Ordnungen aller möglichen Elemente von 0 bis 17 einfach mal notierst.

ord(0) = ---
ord(1) = 1
ord(2) = ---
ord(3) = ---
ord(4) = ---
ord(5) = 6
ord(6) = ---
ord(7) = 3
ord(8) = ---
ord(9) = ---
ord(10) = ---
ord(11) = 6
ord(12) = ---
ord(13) = 3
ord(14) = ---
ord(15) = ---
ord(16) = ---
ord(17) = 2

Du siehst es gibt Ordnungen zu den Elementen 1, 5, 7, 11, 13 und 17.

Die möglichen Ordnungen sind: 1, 2, 3 und 6.

Comments

Ich glaube es wäre sehr hilfreich wenn man einmal vorrechnen würde

Ich weiß nicht wie man vorgehen muss bei dieser Aufgabe

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Bilde die Potenzen eines Elements, bis du eine Periode erkennst oder der Potenzwert 1 auftritt.

Z.B

2^1	2^2	2^3	2^4	2^5	2^6	2^7	2^8	2^9	2^10
2	4	8	16	32 Ξ 14	28 Ξ 10	20 Ξ 2	...	...	...

Du siehst es tritt hier wieder die 2 auf und wir laufen dann in eine Periode.

Mach das selber mal für ausgewählte Potenzen, um das zu prüfen.

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Muss ich das mit jeder zahl machen bis 17 ? Also

Auch mit

 3^1

3^2

3^3

….

Und dann mit 4^1

4^2

4^3

…

Bis

17^1

17^2

17^3

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Genau. Aber meist ergibt sich schnell eine Periode oder eine 1.

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Warum schreibt man dann die Teilerfremden und Potenzen auf wenn ich sie nicht brauche ?

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Warum schreibt man dann die Teilerfremden und Potenzen auf wenn ich sie nicht brauche ?

Ich hatte das ausführlich gemacht, damit du siehst, dass nur bei den teilerfremden Zahlen eine endliche Ordnung herauskommt. Hast du das nicht bemerkt?

Daher brauchst du später natürlich nur bei den teilerfremden Elementen eine Ordnung zu berechnen.

Die Potenzen sind die Ergebnisse, die für die Ordnungen herauskommen können. Daher brauchst du nachher nicht alle Potenzen zu prüfen, sondern eben nur die wo 1 herauskommen kann.

Beides gehört also zur Vereinfachung, um dir den Aufwand zu vereinfachen. Aber es gilt natürlich, dass du das erstmal auch ausführlich können solltest, damit du verstehst wie das System funktioniert.