Lineare Algebra, Gleichungssysteme

Question

Guten Morgen,

habe eine Aufgabe im Linearen Algebra, die ich nicht so ganz verstehe. Habe auch mal bereits im Internet geschaut, aber andere Ergebnisse gefunden weshalb ich jetzt verunsichert bin. Kann mir einer helfen und womöglich meine Fehler ausbessern?



Löse das Gleichungssystem:
2x-z=-1-2y
5+y=x+z
3x-7=z+y
Meine Lösung:
zweite Gleichung nach z aufzulösen:
5 + y = x + z
=> z = x + y - 5
Ausdruck für z aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung einsetzen: 2x - (x + y - 5) = -1 - 2y
nach x auflösen:
2x - x - y + 5 = -1 - 2y
=> x - y = -6 - 2y
=> x = -6 - 2y + y
=> x = -6 - y

Ausdrücke für z und x in die dritte Gleichung einsetzen:
3x - 7 = (x + y - 5) + y
=> 3x - 7 = x + 2y - 5
nach x auflösen:
3x - x = 2y - 5 + 7
=> 2x = 2y + 2
=> x = y + 1
Werte verwenden, um y zu berechnen:
y = x + z - 5
=> y = (y + 1) + (y + 1 - 5)
=> y = y + y - 3
=> y = -3

x und z berechnen:

x = y + 1
x = -3 + 1
x = -2

z = x + y - 5
z = -2 + (-3) - 5
z = -10
Die Lösung des Gleichungssystems ist:
x = -2
y = -3
z = -10

Ist das richtig? Als ich mir die Lösungen von anderen im Internet angeschaut habe, hatten alle irgendwie das Ergebnis x=2, y=-2 und z=1 o.O

Comments

Ich würde erstmal das Chaos ordnen und in diese Form bringen:

ax+by+cz = d

Answer 1

Du kannst und solltest deine Lösung selbst überprüfen - Probe durch Einsetzen. Dann siehst du, dass deine Lösung nicht stimmt. Z.B. ist die zweite Gleichung nicht erfüllt.

Es ist auch direkt deine erste Auflösung schief gegangen: richtig wäre z=5+y-x.

Answer 2

Hallo,

ich würde die Gleichungen erst einmal geordnet untereinander schreiben:

\(2x+2y-z=-1\\ -x+y-z=-5\\ 3x-y-z=7\)

Wenn du die 2. + 3. Gleichung addierst sowie das Zweifache der 2. Gleichung von der ersten abziehst, erhältst du:

\(2x-2z=2\\4x+z=9\Rightarrow z=9-4x\)

Der Rest ist dann ein Klacks.

Gruß, Silvia

Answer 3

Das ist nicht richtig und auch viel zu umständlich. Ich würde das so lösen:

2x-z=-1-2y  (1) 2x+2y-z =-1
5+y=x+z      (2)  x- y + z =5
3x-7=z+y     (3) 3x-y - z =7

(1)+(2)=(4) 3x+y=4

(2)+(3)=(5) 4x-2y=12

2·(4)+(5)    10x =20

                  x=2

Einsetzen in (4); y=-2

x und y einsetzen in (2): z=1