Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix P ∈ M_{3,3}(ℝ) bgzl.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( P \in M_{3,3}(\mathbb{R}) \) bgzl. der Standardbasis des euklidischen Raums \( \mathbb{R}^{3} \) der orthogonalen Projektion von \( \mathbb{R}^{3} \) auf
\( U:=\left\{\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=0\right\} \)

Problem/Ansatz:

Die Standardbasis ist ja {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Aber ich verstehe jetzt nicht ganz was ich hier tun soll

Answer 1

Ein Normalenvektor zu U ist

\(n = (1\:\: -1\:\: 2)^T\)

Ziehe also von jedem Vektor \(x\) seine Komponente in n-Richtung ab:

\(P_Ux = x- \frac 1{|n|^2}(n^Tx)n\)

Nun setzt du für \(x\) die Standardbasisvektoren \(e_1,e_2,e_3\) ein. Dies ergibt die Spalten von \(P_U\).

Du erhältst so
$$P_U = \left( \begin{array}{ccc} \frac{5}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{6} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \end{array} \right)$$