Darstellungsmatrix als Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

3.4. Wir betrachten den Vektorraum \( F(\mathbb{R}, \mathbb{R})=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\} \) und die Basisfolge \( B=\left(\cos (x), \sin (x), \cos ^{2}(x), \sin ^{2}(x), \cos (x) \sin (x)\right) \). Sei \( V=\langle B\rangle \). Auf \( V \) betrachten wir die Abbildung \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}: V \rightarrow V, f(x) \mapsto f^{\prime}(x) \), also die Ableitung. Sie dürfen benutzen, dass die Ableitung linear ist.
(a) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix \( T={ }_{B}\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\right]_{B} \) der Ableitung bezüglich der gegebenen Basis \( B \).
(b) Benutzen Sie die Darstellungsmatrix \( T \), um die Ableitung der Funktion \( f(x)= \) \( 3 \cos (x)+\cos ^{2}(x)-\cos (x) \sin (x) \) zu berechnen.
(c) Gibt es eine Funktion \( f \in V \), sodass \( f^{\prime}(x)=\cos ^{2}(x) \) ?
\( (2+2+2 \text { Punkte) } \)

Problem/Ansatz:

Für Aufgabe a habe ich jeweils schon die Abbildungen für die Basis B gebildet. Jedoch bekomme ich von meiner Darstellungsmatrix die Spalten 3,4 und 5 nicht gebildet. Kann mir da jemand bei helfen.

aktuell habe ich die Darstellungsmatrix wie folgt:

T=(0 -1 ? ? ?

  1 0 ? ? ?

  0 0 ? ? ?

  0 0 ? ? ?

  0 0 ? ? ?)

Wäre super wenn die Fragezeichen auch noch zahlen bekommen

Bei b muss ich dann doch nur noch die Darstellungsmatrix mit dem Vektor (3,0,1,0,-1)^T multiplizieren oder?

Und die Antwort auf c ist ja oder? weil cos^2(x) ja schon ein Basisvektor von f ist oder?

Comments

Und die Antwort auf c ist ja oder? weil cos²(x) ja schon ein Basisvektor von f ist oder?

Bist du mal auf die Idee gekommen, eine Stammfunktion von cos²(x) zu finden?

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(c) soll wohl als Aufgabe aus der LinAlg gelöst werden und dafür bedarf es keiner Stammfunktion.

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ja genau, aber dafür wäre es erstmal gut die gesamte Darstellungsmatrix zu kennen. Könnt ihr mir da vielleicht noch bei helfen

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Ist nicht cos'=-sin? Sollte also in der ersten Spalte -1 stehen?

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Und in der 2. Spalte oben +1.

Answer 1

Zu a): Überprüfe die ersten beiden Spalten nochmal. Die restlichen drei Spalten sollten mit den bekannten Ableitungsregeln kein Problem sein. Wo ist Dein Problem damit?

Zu b): Deine Vermutung stimmt. Rechne es dann noch in eine Funktion um.

Zu c): Nein. Die Abbildung bildet \(V\) ab in einen erstmal unbekannten Vektorraum \(W=spaltenraum\, T = bildmenge \,(Ableitung)\)). Die Frage ist, ob \((x\mapsto \cos2 x) \in W\) gilt. Es ist ja nicht unbedingt \(V=W\), also ist die Antwort nicht so klar. Hier ist also eine Gleichung zu lösen.