Aufgabe:
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3.4. Wir betrachten den Vektorraum \( F(\mathbb{R}, \mathbb{R})=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\} \) und die Basisfolge \( B=\left(\cos (x), \sin (x), \cos ^{2}(x), \sin ^{2}(x), \cos (x) \sin (x)\right) \). Sei \( V=\langle B\rangle \). Auf \( V \) betrachten wir die Abbildung \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}: V \rightarrow V, f(x) \mapsto f^{\prime}(x) \), also die Ableitung. Sie dürfen benutzen, dass die Ableitung linear ist.
(a) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix \( T={ }_{B}\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\right]_{B} \) der Ableitung bezüglich der gegebenen Basis \( B \).
(b) Benutzen Sie die Darstellungsmatrix \( T \), um die Ableitung der Funktion \( f(x)= \) \( 3 \cos (x)+\cos ^{2}(x)-\cos (x) \sin (x) \) zu berechnen.
(c) Gibt es eine Funktion \( f \in V \), sodass \( f^{\prime}(x)=\cos ^{2}(x) \) ?
\( (2+2+2 \text { Punkte) } \)
Problem/Ansatz:
Für Aufgabe a habe ich jeweils schon die Abbildungen für die Basis B gebildet. Jedoch bekomme ich von meiner Darstellungsmatrix die Spalten 3,4 und 5 nicht gebildet. Kann mir da jemand bei helfen.
aktuell habe ich die Darstellungsmatrix wie folgt:
T=(0 -1 ? ? ?
1 0 ? ? ?
0 0 ? ? ?
0 0 ? ? ?
0 0 ? ? ?)
Wäre super wenn die Fragezeichen auch noch zahlen bekommen
Bei b muss ich dann doch nur noch die Darstellungsmatrix mit dem Vektor (3,0,1,0,-1)^T multiplizieren oder?
Und die Antwort auf c ist ja oder? weil cos^2(x) ja schon ein Basisvektor von f ist oder?
