Eine Basis für \(\mathbb{R}^{2\times 2}\), also den Raum der \(2\times 2\)-Matrizen, liefern die Standardmatrizen \(B=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\). Die haben jeweils nur eine \(1\) und zwar gerade dort, wo die Indizierung das angibt, also z. B. \(E_{11}\) ganz oben links: erste Zeile, erste Spalte.
Die Darstellungsmatrix \(M_B^B(\sigma)\) erhält man nun als: \(M_B^B(\sigma)=(_B\sigma(E_{11}),...,_B\sigma(E_{22}))\), wobei das B als Index angeben soll, dass es sich um die Koordinantenvektoren bzgl. \(B\) handelt.
Ein Beispiel:
Es gilt:$$\sigma(E_{11})=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Und weiter:$$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=2E_{11}+0\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+0\cdot E_{22} \Rightarrow _B\sigma(E_{11})=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Das wäre schon der erste Spaltenvektor der Matrix. Siehst du, wie es weiter geht?
