Zeigen Sie: Die Darstellungsmatrix von T bezüglich der üblichen Basen

Question

Aufgabe:

Es seien a₀, . . . , a_n-1 verschiedene reelle Zahlen. Die Matrix

\( V_{n}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & a_{0} & a_{0}^{2} & \cdots & a_{0}^{n-1} \\ 1 & a_{1} & a_{1}^{2} & \cdots & a_{1}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n-2} & a_{n-2}^{2} & \cdots & a_{n-2}^{n-1} \\ 1 & a_{n-1} & a_{n-1}^{2} & \cdots & a_{n-1}^{n-1}\end{array}\right) \)

heißt Vandemonde-Matrix.

(a) Es sei T : ℝ_k[x] → ℝ^k+1 die durch die Formel T(p) = (p(a₀), ... , p(a_k))^T definierte
lineare Abbildung.

Zeigen Sie: Die Darstellungsmatrix von T bezüglich der üblichen Basen
für ℝ_k[x] und ℝ^k+1 ist die Vandermonde-Matrix V_k+1.

Problem/Ansatz:

was sind die üblichen Basen und wie soll ich die Aussage dann zeigen?
Ich bekomme es einfach nicht hin.

Comments

Die üblichen Basen sind für \( \mathbb R_{\le k}[T] \) die Standardmonombasis \( (1,T,T^2,...,T^{k-1},T^k) \).

Und für \( \mathbb R^{k+1} \) die Standardbasis \( (e_1, e_2,..., e_k, e_{k+1}) \) mit den wohlbekannten Basisvektoren

$$ e_i = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix} $$

Wobei die \( 1 \) bei \( e_i \) in der \( i \)-ten Komponente steht.

Wie musst du vorgehen um eine Darstellungsmatrix auszurechnen?

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Eigentlich muss ich dafür ja dann T(1), T(x), T(x²) usw. berechnen, und das Ergebnis als Linearkombination der Elemente in der Basis darstellen, glaube ich.

Aber das kriege ich irgendwie nicht hin.

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Ja, das klingt doch schon einmal gut.

Was ist denn \( T(1) \) und was ist \( T(x) \)?

(Ich sehe gerade meine Notation oben ist etwas verwirrend, es sollt besser x statt T heißen ^^)

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Genau das ist mein Problem...

T(1) ist ja laut Formel (1(a₀), 1(a₁),..., 1(a_k)^T

T(x) das gleiche mit x statt 1.

Aber was soll das sein?
Ich stehe gerade total auf dem Schlauch.

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Das sind Polynome, in die du Werte einsetzt.

z.B. beim Polynome \( p(x) = x^4 + 3x+2 \) wenn du da \( a_i \) einsetzt kommt \( p(a_i) = a_i^4 + 3a_i + 2 \) raus, etc.

und jetzt machst du das eben mit den Polynomen

\( p(x) = 1 \) usw. bis \( p(x) = x^k \)