Finden sie die Darstellungsmatrix von T mit der üblichen Basis für R³ und folgender linearer Abbildung

Question

Aufgabe:

a) Finden sie die Darstellungsmatrix von T mit der üblichen Basis für R³ und folgender linearer Abbildung

T : R³ -> R³

Text erkannt:

\( A b b: T\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-y \\ x+2 y-z \\ 2 x+y+z\end{array}\right) \)

b) Finden sie die Darstellungsmatrix von B: R³ -> R³  bezüglich der gegebenen Basis A für R³  

 

Text erkannt:

\( B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \)

nutze dazu die Darstellungsmatrix B der linearen Abbildung B : R³ -> R³ zu Hilfe um eine Formel für

zu finden

Text erkannt:

\( B\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

zu a) bin ich bisher so weit gekommen, als ich die übliche Basis mit der Abbildung verwendet habe, weiß aber nicht ob dies schon diese Darstellungsmatrix ist;

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right) \)

zu b) Hier bin ich mir unsicher wie man hier mithilfe einer gegebenen Darstellungsmatrix und einer Basis dies anfangen soll.

Ich bitte um mithilfe um den richtigen Lösungsweg zu finden

VG coffee.cup

Answer 1

Aloha :)

zu a) Darstellungsmatrix \(\mathbf T\) bezüglich dre Standardbasis \(E\):

$$\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-y\\x+2y-z\\2x+y+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\1\\2\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{r}-1\\2\\1\end{array}\right)y+\left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right)z\quad\implies$$$$\mathbf T=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0\\1 & 2 & -1\\2 & 1 & 1\end{array}\right)$$

zu b) Wir haben nun eine andere Darstellungsmatrix \(\mathbf B\) in der Standardbasis \(E\) gegeben:$${_E}\mathbf B_E=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{array}\right)$$Zur besseren Unterscheidung habe ich die Eingangsbasis \(E\) rechts und die Ausgangsbasis \(E\) links neben den Namen der Darstellungsmatrix \(\mathbf B\) geschrieben.

Wir sollen diese Darstellungsmatrix nun so umrechnen, dass sie Vektoren bezüglich der Basis \(A\) als Eingangsgrößen und als Ausgangsgrößen aktzeptiert:$${_A}\mathbf B_A={_A}\mathbf{id}_E\cdot{_E}\mathbf B_E\cdot{_E}\mathbf{id}_A$$

Zur Bestimmung dieser Matrix müssen wir rechts die Eingangsgrößen zunächst von der Basis \(A\) in die Standardbasis \(E\) überführen. Da die neuen Basisvektoren aus \(A\) bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben sind, kennen wir die dafür nötige Transformationsmatrix bereits:$${_E}\mathbf{id}_A=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 1\\0 & 1 & -1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Danach lassen wir mit \({_E}\mathbf B_E\) die Abbildung wirken, müssen das Ergebnis aber noch in die neue Basis \(A\) transformieren. Da wir bereits wissen, wie man von \(E\) nach \(A\) transformiert, wissen wir auch, wie man von \(A\) nach \(E\) transformiert, nämlich durch Anwendung der inversen Transformationsmatrix:$${_A}\mathbf{id}_E=\left({_E}\mathbf{id}_A\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 1\\0 & 1 & -1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3} & -1 & \frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Damit haben wir alles zusammen, was wir brauchen:$${_A}\mathbf B_A=\left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3} & -1 & \frac{1}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 1\\0 & 1 & -1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}3 & 0 & 2\\0 & -1 & 0\\-2 & 0 & 2\end{array}\right)$$

Comments

Danke für die Antwort :) das hilft mir weiter

VG

Answer 2

a) hast du richtig.

Bei b musst die Basisvektoren von A abbilden und die Bilder wieder in der

Basis B darstellen.

Also erst mal die Formel :

$$B(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y+z\\x+z\\x+y \end{pmatrix}$$

Dann hast du z:B.

$$B(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}=3*\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+0*\begin{pmatrix} -2\\1\\1 \end{pmatrix}+(-2)*\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}$$

Also 1. Spalte der Matrix

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Comments

Hallo :-)

Ich wollte die Aufgabe gerade durchgehen, allerdings bin ich etwas verwirrt, wie du in der letzten Gleichung, auf (2,0,-2) als Einträge der ersten Spalte kommst.

Möglicherweise habe ich etwas bezüglich Skalarmultiplikation missverstanden in dem Fall aber ich dachte es müsse (3,0,-2) sein um mit der Basis (1,2,1) zu erzeugen.

Täusche ich mich oder hast du dich bloß vertippt?

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Hat sich erledigt, oben drüber steht's ja richtig :D Der Wald vor Lauter Bäumen