Darstellungsmatrix von linearer Abbildung finden

Question

Aufgabe:

Es seien n ∈ ℕ und T : ℝ_n[x] → ℝ_n[x] die durch die Formel
(T(p))(x) = p(x + 1)
definierte lineare Abbildung.

Finden Sie die Darstellungsmatrix von T bezüglich der üblichen
Basis für ℝ_n[x].

Problem:

Was ist die übliche Basis? Vielleicht kriege ich es dann auch selbst hin.

Mein Problem ist, dass dort nicht bspw. T\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)= \( \begin{pmatrix} x-y\\y+z\\z-2y+x \end{pmatrix} \) steht, sondern so eine komische Formel...

Danke schonmal

Answer 1

Was ist die übliche Basis?

Es geht ja um den Raum der Polynome mit Grad ≤ n.

Die übliche Basis besteht aus den Polynomen 1, x, x^2 , x^3 , ... , x^n.

Die Matrix ist also eine (n+1)x(n+1) Matrix.

Die Bilder musst du berechnen und wieder mit der Basis darstellen,

z.B. für p=x^2 ist das

  (T(p))(x) = p(x + 1) also hier

T(x^2) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 in der Basis dargestellt

1*1 + 2*x + 1*x^2 + 0*/x^3 + 0*x^4 +.... +0*x^n also ist die

zu x^2 gehörende 3. Spalte der Matrix

1
2
1
0
...
0

Das gibt dann wohl eine Matrix, die eine obere Dreiecksmatrix

ist und das Dreieck sieht so aus wie das Pascalsche-Dreieck

mit den Binomialkoeffizienten.

Comments

Oh klasse, jetzt habe ich es hinbekommen.

Vielen Dank für die hilfreiche Antwort! :)