Gegeben sei die lin. Abb. f: ℝ3→ℝ4 ;
f(x1,x2,x3,x4) = (2x2, x3 + x1, x1, x1 + x2 + x3)T
und die Basen
B = {e1,e2,e3,e4} (Standardbasis R3)
B' = {(1,0,1)T, (0,1,1)T, (1,1,1)T}
C = {e1,e2,e3,e4} (Standardbasis R4)
C' = {(1100), (1210), (0101), (-1,0,1,-1)}
a) Man überprüfe, dass B' tatsächlich eine Basis des R4 ist.
b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M(f) = MB,C(f) bzgl. der Standardbasis.
c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M(Id) = MB,B'(Id) und M(Id) = MC,C'(Id) sowie deren inverse Matrizen.
Zur a)
Hier reicht es doch, wenn man zeigt, dass die Vektoren linear unabhängig sind, oder?
Zur b)
Die Bilder der Basisvektoren ergeben ja die Spalten der Darstellungsmatrix.
Mich irritiert das M(f) = MB,C(f)
Soll es jetzt etwa eine Darstellungsmatrix für jede Basis einzeln geben oder eine für beide?
Für die Basis C gibt's ja in f kein x4. Wie gehe ich in dem Fall vor? Einfach einsetzen?
Zur c)
Das Id (Identität) ist doch die Abbildung (also f) selbst, oder?
Ist es dann nicht dasselbe (bzw. ähnlich) wie in b) ?