Darstellungsmatrix linearer Abbildung bestimmen

Question

Gegeben sei die lin. Abb. f: ℝ³→ℝ^{4 ;}

f(x₁,x₂,x₃,x₄) = (2x₂, x₃ + x₁, x₁, x₁ + x₂ + x₃)^T

und die Basen

B = {e1,e2,e3,e4} (Standardbasis R³)
B' = {(1,0,1)^T, (0,1,1)^T, (1,1,1)^T}

C = {e1,e2,e3,e4} (Standardbasis R⁴)
C' = {(1100), (1210), (0101), (-1,0,1,-1)}

a) Man überprüfe, dass B' tatsächlich eine Basis des R⁴ ist.

b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M(f) = M_B,C(f) bzgl. der Standardbasis.

c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M(Id) = M_B,B'(Id) und M(Id) = M_C,C'(Id) sowie deren inverse Matrizen.

Zur a)
Hier reicht es doch, wenn man zeigt, dass die Vektoren linear unabhängig sind, oder?

Zur b)
Die Bilder der Basisvektoren ergeben ja die Spalten der Darstellungsmatrix.
Mich irritiert das M(f) = M_B,C(f) 
Soll es jetzt etwa eine Darstellungsmatrix für jede Basis einzeln geben oder eine für beide?
Für die Basis C gibt's ja in f kein x₄. Wie gehe ich in dem Fall vor? Einfach einsetzen?

Zur c)
Das Id (Identität) ist doch die Abbildung (also f) selbst, oder?
Ist es dann nicht dasselbe (bzw. ähnlich) wie in b) ?

Answer 1

Zur a)
Hier reicht es doch, wenn man zeigt, dass die Vektoren linear unabhängig sind, oder?

und die Bemerkung, dass es drei Stück sind.

Zur b)
Die Bilder der Basisvektoren ergeben ja die Spalten der Darstellungsmatrix.
Mich irritiert das M(f) = M_B,C(f) 
Soll es jetzt etwa eine Darstellungsmatrix für jede Basis einzeln geben oder eine für beide?
Für die Basis C gibt's ja in f kein x₄. Wie gehe ich in dem Fall vor? Einfach einsetzen?

Die Basisvektoren von B liegen ja in R^3.  Und es heißt bestimmt

f(x₁,x₂,x₃) = (2x₂, x₃ + x₁, x₁, x₁ + x₂ + x₃)^T    also ohne x4

Dann berechnest du die Bilder der drei Basisvektoren von B und stellst diese
als Linearkombinationen der Vektoren von C dar. Und die 4 Zahlen, die du dabei

belommst bilden die Spalten der gesuchten Matrix.

Zur c)
Das Id (Identität) ist doch die Abbildung (also f) selbst, oder?
Ist es dann nicht dasselbe (bzw. ähnlich) wie in b) ?
In der Tat ähnlich, z.B. für   M(Id) = M_B,B'(Id)
Bilder von B sind die Elemente von B selbst. Aber die jetzt mit den Vektoren
von B ' darstellen und die Koeffizienten sind dann die Spalten von M(Id) = M_B,B'(Id).

Comments

Aufgabe b)
Ja, danke, stimmt, es heißt

f(x₁,x₂,x₃) = (2x₂, x₃ + x₁, x₁, x₁ + x₂ + x₃)^T 

Habe mich vertippt.

Die Koeffizienten von der Linearkombination ergeben dann die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix?
D.h. bei der Basis B
f(e1) = x
f(e2) = y
f(e3) = z

Also wäre dann
x = i*c1 + j*c2 + k*c3 usw? (also i, j und k sind die Koeffizienten)

D.h. der erste Spaltenvektor wäre dann 

i

j

k

?
Dann gehe ich mal stark davon aus, dass das mit den anderen Vektoren genauso geht, oder?

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Genau so ist es.

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Aber bei ner ähnlichen Aufgabe hieß es aber ich müsste für die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix die Bilder von der Linearkombination angeben?

x = i*c1 + j*c2 + k*c3

f(x) = i*f(c1) + j*f(c2) + k*f(c3)  (und das Bild hiervon ergibt den ersten Vektor der Darstellungsmatrix)

usw.

Was stimmt denn jetzt? Bin verwirrt.