Darstellungsmatrix bezüglich kanonische Basis finden

Question

Sei die lineare Abbildung \( g: \mathbf{R}^{4} \longmapsto \mathbf{R}^{4} \) gegeben durch: \( g(1,1,0,0)= \) \( \left(1,-4, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)^{T}, g(1,0,1,0)=(0,-4,1,1)^{T}, g(0,1,0,1)=\left(1,-1, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)^{T}, g(0,0,1,2)=(1,0,2,3)^{T} \)

a) Zeigen Sie, dass \( g \) wohldefiniert ist, d.h. überprüfen Sie, dass die Vektoren \( (1,1,0,0)^{T},(1,0,1,0)^{T} \) \( (0,1,0,1)^{T},(0,0,1,2)^{T} \) linear unabhängig sind und damit eine Basis in \( \mathbf{R}^{4} \) bilden.

b) Geben Sie die Darstellungsmatrix \( M \) von \( g \) bezüglich der kanonischen Basis an.

Hinweise: Bestimmen Sie dafür zu erst die Darstellung der kanonischen Basisvectoren \( \vec{e}_{i}, i=1,2,3,4 \) in
$$ \text { der Basis }\left\{(1,1,0,0)^{T},(1,0,1,0)^{T},(0,1,0,1)^{T},(0,0,1,2)^{T}\right\} $$
c) Berechnen Sie \( K e r n(g) \) und \( I m(g) \)

Liebe Community,

Die a) hab ich hinbekommen (denke ich)  - habe das homogene LGS aufgestellt und als Lsg. (0|0|0|0) rausbekommen. Demnach sind die Vektoren linear unabhängig, bilden ein Erzeugendensystem und sind somit eine Basis. Reicht das als Begründung? Bzw. wie genau zeige ich, dass die Vektoren ein EZS bilden?

bei der b) verstehe ich nicht wirklich was gemeint ist. Ich hatte jetzt gedacht ich stell die Bilder der Vektoren mittels der kanonischen Basis dar, also: 

g(1,1,0,0) =  (1, -4, 1,5, 0,5) = 1 * (1, 0, 0, 0) + (-4) * (0,1,0,0) + 1,5 * (0,0,1,0) + 0,5 * (0,0,0,1)

usw....

 ->  aber wie erstelle ich die Darstellungsmatrix?

zur c) 
Ich denke ich müsste ich die Darstellungsmatrix aus b) gleich 0 setzen (für den Kern)...

Nur wie berechne ich das Bild?

Answer 1

a) Du hast einen (über \(\mathbb{R}\)) 4-Dimensionalen Vektorraum. 4 lineare unabhängige Vektoren bilden immer eine Basis (also ein EZS) eines solchen. Ist dir klar warum deine Abbildung nun wohldefiniert ist?

b) Du hast die Aufgabe nicht richtig verstanden. Die Darstellungsmatrix von \(g\) bezüglich der kanonischen Basis erhältst du (wie in der Aufgabe beschrieben wird) bspw. indem du:

-->1) Die Darstellung der kanonischen Basisvektoren bezüglich der angegebenen Basis (also die Linearkombination) bestimmst.

-->2) Mit dieser kannst du unter Verwendung der Linearität der Abbildung \(g\) die Bilder der kanonischen Basisvektoren bestimmen. Also \(g(1,0,0,0)\) usw.

-->3) Diese Bildvektoren bilden die Spalten deiner gesuchten Darstellungsmatrix.

c) Ja dafür musst du erstmal b) fertig haben.

Gruß

Comments

Warum ist sie denn jetzt wohldefiniert? Warum reicht es als Begründung, dass die Vektoren linear unabhängig sind?

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Die Abbildung ist nun wohldefiniert, weil du für jeden Vektor aus dem \(\mathbb{R}^4\) ein eindeutiges Bild erhältst.

Weil eine Basis des \(\mathbb{R}^4\) nun mal nur aus 4 linear unabhängigen Vektoren besteht. Ihre lineare Hülle entspricht einem 4-dimensionalen Unterraum des \(\mathbb{R}^4\), was trivialerweise nur ihm selbst entsprechen kann.

Answer 2

Die a) hab ich hinbekommen (denke ich)  - habe das homogene LGS aufgestellt und als einzige Lsg. (0|0|0|0) rausbekommen. Demnach sind die Vektoren linear unabhängig, bilden ein Erzeugendensystem und sind somit eine Basis. Reicht das als Begründung? Bzw. wie genau zeige ich, dass die Vektoren ein EZS bilden?

eventuell Hinweis auf   dim = 4 , dann bilden 4 lin. unabh. immer eine Basis.

b) Ich hatte jetzt gedacht ich stell die Bilder der Vektoren mittels der kanonischen Basis dar, also: 

nein, du musst die kan. Basisvektoren durch die 4 Basisvektoren ( nenne ich mal v1,v2,v3,v4) darstellen.

etwa   e1 = a*v1 + bv2 + cv3 + dv4

gibt a=2 b=-1  c= -2  d=1

also ist g( e1) = 2*g(v1)  -1*g(v2) -2*g(v3)  1 *g(v4)

und wenn du diese 4 einsetzt und alles ausrechnest, hast du

die 1. Spalte der Darstellungsmatrix. 

Dann das gleiche mit e2  etc.

Nur wie berechne ich das Bild? Das Bild ist der durch die Spalten der Matrix

erzeugte Vektorraum. Must schauen, ob die 4 vielleicht schon lin. unabhängig

sind, dann ist das Bild IR^4 .   Ansonsten musst du von den vieren einen weglassen, der

sich durch die übrigen darstellen lässt und schauen , ob die restlichen drei lin. unabh.

sind, sonst eventuell nochmal...

Comments

Ah, okay - Moment mal... Die Abbildung g soll also irgendeinen Vektor auf den kanonischen Vektor abbilden... Das heißt ich muss das LGS aus den Basisvektoren mit der rechten Seite gleich dem kanonischen Vektor gleichsetzen? Und damit finde ich also den Urbildvektor? Habe ich das richtig verstanden?

Also so? Und das dann mit e2 usw?

1	1	0	0	|	1
1	0	1	0	|	0
0	1	0	1	|	0
0	0	1	2	|	0

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genau, und das gibt dann gibt a=2 b=-1  c= -2  d=1

also ist g( e1) = 2*g(v1)  -1*g(v2) -2*g(v3)  +1 *g(v4)

Und das dann mit e2 usw?  genau !

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Okay,
aber eine Sache ist mir noch unklar: wenn ja die gegebenen Vektoren einen IR⁴ Raum aufspannen, was genau bringt es uns, dann mit der kanonischen Basis zu rechnen? (Klar das ist die Aufgabenstellung) Wir können ja sowohl aus den Vektoren in der Aufgabe als auch mit den Vektoren der kanonischen Basis den Raum IR⁴ aufspannen, sprich jeden Punkt beschreiben. Oder geht es darum dann die Funktionsvorschrift zu finden (um hinterher einfacher rechnen zu können)? Ich hab grad irgendwie ein Brett vorm Kopf.Verstehst du mein Problem?