Vollständige Induktion Beispielaufgabe

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{(3k + 1)} \) = \( \frac{(n + 1)(3n + 2)}{2} \)

Problem/Ansatz:

Ich soll die Gleichung für alle n ∈ ℕ₀    mit der Vollständigen Induktion beweisen.

Der Induktionsschritt bereitet mir allerdings Probleme.

Ich schaffe es nicht die rechte Gleichung auf die Induktionsvoraussetzung zu bringen.

Text erkannt:

b
\( \sum \limits_{k=0}^{n}(3 k+1)=\frac{(n+1)(3 n+2)}{2} \)
A \( : n=0 \)
\( \sum \limits_{k=0}^{0}(3 k+1)=1=\frac{2}{2} \)
1V: Aussage gilt för ein \( n \in N_{0} \)
\( \text { Is: } n \rightarrow n+1 \)
\( \sum \limits_{k=0}^{n+1}(3 k+1)=\frac{(n+2)(3(n+1)+2)}{2} \)
\( \sum \limits_{k=0}^{n}(3 k+1)+3(n+1)+1=\frac{(n+2)(3 n+5)}{2} \)

Answer 1

Mit Äquivalenzumformungen wird es eine unnötig längere Rechnung.

Schreib die IV explizit und vollständig hin. Genauso wie die Ind.Beh. Das hilft schonmal.

Zur Rechnung: Fang mit der linken Seite der Ind.Beh. an, ziehe den n+1-ten Summanden raus. Das hast Du schon gemacht. Nun benutze die IV, forme dann weiter um. Wie weit kommst Du dann? Ziel ist am Ende bei der rechten Seite der Ind.Beh. rauszukommen.

Comments

Hast Recht, da merkt man wie wichtig es ist sauber aufzuschreiben.

An meiner Uni wird die Induktionsbehauptung nicht explizit aufgeschrieben, also

1. Induktionsanfang (n = n₀)

2. Induktionsvoraussetzung (A(n) gilt für ein n)

3. Induktionsschritt (n → n + 1)

was ich nicht ganz nachvollziehen kann.

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Geht natürlich schneller so. Oft verliert man aber aus den Augen, was man hat (Ind.Vor.) und wo man hin will (Ind.Beh.). Was kannst Du nicht nachvollziehen?

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Dass die Ind.Beh nicht explizit angegeben wird.

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Achso, ja, verständlich. Du kannst es ja beim Üben anders handhaben.

Answer 2

$$\sum \limits_{k=0}^{n} (3k+1) + 3(n+1)+1 = \frac{(n+2)(3n+5)}{2} \newline \frac{(n+1)(3n+2)}{2} + \frac{2(3n+4)}{2} = \frac{(n+2)(3n+5)}{2} \newline \frac{3n^2+5n+2}{2} + \frac{6n+8}{2} = \frac{3n^2 + 11n + 10}{2} \newline \frac{3n^2 + 11n + 10}{2} = \frac{3n^2 + 11n + 10}{2}$$

Comments

Danke für das Ergebnis.