Vollständige Induktion Fehlersuche

Question

Aufgabe:

Wir sollen per vollständiger Induktion zeigen, dass
\( \sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{n-k} k^{2}=\frac{n(n+1)}{2} \). Ich finde meinen Fehler einfach nicht. Kann mir jemand weiterhelfen?

Problem/Ansatz:

1. IA \( n=1 \)
\( \sum \limits_{k=1}^{1}(-1)^{1-1} \cdot 1^{2}=1=\frac{2}{2}=\frac{1(1+1)}{2} \)
2.
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1}(-1)^{n+1-k} k^{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \text { gelte für beliebiges, } \)
aber festes \( n \in \mathbb{N} \).
3.
\( \begin{array}{l} (-1)^{(n+1)-(n+1)}(n+1)^{2}+\sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{n-k} k^{2} \\ \stackrel{IA}{=}(n+1)^{2}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} ? \end{array} \)

Hier steht auf den beiden Seiten der Gleichung nicht das Gleiche. Wo liegt das Problem?

Dankeschön und LG :)

Answer 1

In der Summe im IS muss \( n+1 \) stehen, weil das \( n \) eine feste Zahl ist.

\(\sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{n+1-k}k^2=(-1)^{n+1-(n+1)}(n+1)^2+ \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{n+1-k}k^2 \).

Comments

Jetzt hat's geklappt! Vielen Dank :)