Vollständige Induktion: 3^n ≥ (n + 2)^2 beweisen.

Question

Aufgabe:

Uberprüfen Sie, ob die Ungleichung 3^n ≥ (n + 2)^2 für n = 1, 2, 3, 4 erfüllt ist. Stellen Sie darauf aufbauend eine Vermutung auf, für welche n ∈ N die Ungleichung wahrsein könnte, und beweisen Sie Ihre Vermutung durch das Prinzip der vollständigen Induktion.

Problem/Ansatz:

1, 2, 3, 4 als n eingesetzt und es ergibt sich, dass ab n=3 die ungleichung stimmt. also folgende Behauptung aufgestellt:

3^n >= (n+2)^2 für alle n ∈ N: n>=3

Bin so weit gekommen aber dann weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen sollte:

Induktionsanfang:

n=3
3^3 >= (3+2)^2
27>=25 -> korrekt

Induktionsvoraussetzung:

Es existiert ein n ∈ N, n>=3: 3^n>= (n+2)^2

Induktionsschritt:

Zu zeigen: 3^(n+1) >= ((n+1)+2)^2 = (n+3)^2 = n^2+6n+9

Also (Induktionsvoraussetzung benutzen):
3^(n+1) = 3^n * 3 >= (n+2)^2 * 3

Jetzt muss man von (n+2)^2 * 3 auf (n+3)^2 kommen aber wie geht das?

Comments

3·(n + 2)² = 3n² + 12n + 12 > n² + 6n + 9 = (n + 3)².

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Aber damit weiß ich ja nur, dass 3*(n+2)² größer ist als (n+3)² , aber doch nicht, dass das kleiner ist als 3 * 3ⁿ oder?

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Dass 3·3ⁿ ≥ 3·(n + 2)² ist, gilt nach Induktionsvoraussetzung, wie du doch selbst korrekterweise angemerkt hast.

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Doch natürlich. Noch nie eine Ungleichungskette gesehen? Wenn ich weiß, dass \(10 > 9 > 8 > 7 > 1\) dann weiß ich auch sofort, dass \(10 > 1\).

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Achso ja stimmt. Ergibt sinn, sorry ich tu mir da etwas schwer bei dem ganzen.

Danke für die ganzen erklärungen!

Answer 1

Hilft es dir, dass \( 3\cdot 3^{n}=3^n+2\cdot 3^{n} \) ist?

Du nimmst an, dass \(3^{n}\ge (n+2)^2 =n^2+4n+4\) gilt.

Du willst zeigen, dass dann

 \( \red{3^n}+2\cdot 3^{n}\ge (n+3)^2=n^2+6n+9 =\red{n^2+4n+4 }+ 2n+5\) ist.

Dafür musst du nur zeigen, dass   \( 2\cdot 3^{n}\ge 2n+5\) ist.

Comments

Und wie beweist man am besten,dass   \( 2\cdot 3^{n}\ge 2n+5\) ist?

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IV benutzen!

Answer 2

3^n ≥ (n + 2)^2 = n^2 + 4·n + 4

IS

3^(n + 1) ≥ (n + 1 + 2)^2
3·3^n ≥ n^2 + 6·n + 9
3·(n^2 + 4·n + 4) ≥ n^2 + 6·n + 9
3·n^2 + 12·n + 12 ≥ n^2 + 6·n + 9
2·n^2 + 6·n ≥ -3
2·n·(n + 3) ≥ -3