Vollständige Induktion: Ungleichung → (1 + q)^n ≥ 1+ nq

Question

Aufgabe: 

Sei q ≥ -1 eine reelle Zahl. Für alle n € N gilt:   \(  (1+q)^n ≥ 1+ nq  \)

Problem:

Ich versuche der Rechnung einer Vorlesefolie zu folgen:

Indunktionsanfang: (für n = 1)

\( (1 + q)^1 = 1 + q = 1 +  nq = 1 + 1 * q \)  // beide Seiten sind gleich für n = 1

Induktionsschritt:
(Zeilenangabe dienen hier als Orientierung)

(1. Zeile) Es gelte die Induktionsannahme \( (1+q)^n ≥ 1+ nq \)

(2. Zeile) und damit wird gezeigt, dass \( (1+q)^{n+1} ≥ 1+ (n+1) q \)

(3. Zeile) Tatsächlich gilt: \( (1+q)^{n+1} = (1+q)^n * (n+1) ≥ (1 + nq) * (1 + q) \)

(4. Zeile)                                             \(  =  1+nq+q + ng^2   ≥   1+nq+q   =   1 + (n+1)q \)

Unklar wird's für mich ab Zeile 3, nach dem ≥ ...

der erste Faktor stammt denke ich aus der Annahme: \( (1 + nq)\)
ich kann nicht erkennen wo der 2. Faktor herkommt: \( (1 + q) \)

Zeile 4...

Auf diese Zeile versuche ich durch Ausmultiplizieren zu kommen, aber das ist scheinbar nicht die richtige Vorgehensweise.
Zum Kontrollieren: 
Wenn ich Zeile 3 die rechte Seite des \(=\)-Zeichens ausmultipliziere, erhalte ich:
                                         \( 1+ng+nq+nq^2   ≥   1+q+nq+nq^2 \)

Wie komm ich auf die 3. & 4. Zeile? 
Welche Schritte wurden auf der Folie verschluckt?

Danke für Hilfe.

Answer 1

Wie komm ich auf die 3. & 4. Zeile?  

Die 3.Zeile soll wohl

(1+q)ⁿ⁺¹  =_Potenzgesetz   (1+q)ⁿ * (1+q)   ≥_IA   (1 + nq) * (1+q)       lauten.

In der 4. Zeile kann man  nach  ≥  den positiven  Summanden nq² weglassen, weil dadurch der Term davor verkleinert wird.

Gruß Wolfgang  

Comments

Wo ist in der 4. Zeile hinter dem \(≥\)-Zeichen ein \(ng^2\)?:  
(4. Zeile):  = 1+nq+q+ng^2 ≥ 1 + nq + q = 1 + (n + 1) q

Oder meinst Du das \(ng^2\) links vom ≥ - Zeichen?

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Das g muss ein q sein.

Wo ist in der 4. Zeile hinter dem ≥-Zeichen ein n²?: 
(4. Zeile):  = 1+nq+q+ng^2 ≥ 1 + nq + q + weg = 1 + (n + 1) q

Nirgends,

.... kann man nach  ≥  den positiven  Summanden nq² weglassen ...

weil man nq² weglassen konnte!

Answer 2

IA) n= 0 (wenn bei euch 0 ∈ ℕ, ansonsten wie bei dir)

(1+q)⁰    ≥ 1+0*q

1 ≥ 1 w.A.

zz) (1+q)ⁿ⁺¹   ≥1+(n+1)*q

IS) (1+q)ⁿ *(1+q)¹  ≥ 1+nq+q  (Schritt 3 Exponenten aufspalten)

=(IV) (1+nq)*(1+q) ≥ 1+nq+q (Induktionsvoraussetzung in linke Seite einsetzen, sollte gehen da ≥  gilt)

=1+q+nq+nq² ≥ 1+nq+q

=nq²≥0  w. A. da q² und n ∈ ℕ

Comments

 (1 + q)ⁿ  * (n + 1)      (Tippfehler) 
....
 (1 + q)ⁿ  * (1 + q)¹ 

Das war doch wohl die eigentliche erste Frage .

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IA) n= 0 (wenn bei euch 0 ∈ ℕ, ansonsten wie bei dir)

Warum sollte das so sein, wenn in der Vorlesungsfolie

Indunktionsanfang: (für n = 1)

steht?