Hallo,
Der mittlere Teil ist ein Produkt, heißt eigentlich sollte da stehen: $$\frac{1}{n+1}\leq\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}, \quad n\in\mathbb{N},\space n\geq1$$
das ändert natürlich einiges. In jedem Fall dürfte der Induktionsanfang kein Problem sein. Zeige, dass die Ungleichung für \(n=1\) erfüllt ist. Den Induktionsschritt führe ich für die linke und rechte Seite getrennt durch. Und das Produkt kann man auch scheiben als$$\prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}$$Der Induktionsschritt für die linke Seite geht wie folgt:$$\begin{aligned} \prod\limits_{k=1}^{n+1} \frac{2k-1}{2k} &= \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} \space \cdot \frac{2n+1}{2(n+1)} &&\left|\,\prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} \ge \frac{1}{n+1} \right.\\ &\ge \frac{1}{n+1} \cdot \frac{2n+1}{2(n+1)} \\ &= \frac{2n+1}{2(n+1)^2} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+2}\\ &= \frac{(2n+1)(n+2) - 2(n+1)^2}{2(n+1)^2(n+2)}+ \frac{1}{n+2} \\ &= \frac{2n^2+5n+2-2n^2-4n-2}{2(n+1)^2(n+2)}+ \frac{1}{n+2} \\ &= \frac{n}{2(n+1)^2(n+2)} + \frac{1}{n+2} \\ &\gt \frac{1}{n+2} \\ \end{aligned}$$Du siehst in der dritten Zeile, dass der Trick darin besteht, den Bruch mit dem erwarteten Term \(1/(n+2)\) einmal zu addieren und gleichzeitig zu subtrahieren. Ist die verbleibende Differenz \(\gt 0\), so ist auch der gesamte Ausdruck größer als \(1/(n+2)\).
Für den rechten Teil gehe ich genauso vor$$\begin{aligned} \prod\limits_{k=1}^{n+1} \frac{2k-1}{2k} &= \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} \space \cdot \frac{2n+1}{2(n+1)}&&\left|\, \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} \le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\right.\\ &\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot \frac{2n+1}{2(n+1)} \\ &= \frac{2n+1}{2(n+1)\sqrt{3n+1}} - \frac{1}{\sqrt{3n+4}} + \frac{1}{\sqrt{3n+4}}\\ &= \frac{(2n+1)\sqrt{3n+4} - 2(n+1)\sqrt{3n+1}}{2(n+1)\sqrt{3n+1}\cdot \sqrt{3n+4}} + \frac{1}{\sqrt{3n+4}} &&\left|\,\text{*)}\right.\\ &= \frac{(2n+1)^2(3n+4) - 4(n+1)^2(3n+1)}{\text{Nenner}}+ \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \\ &= \frac{-n}{\text{Nenner}} + \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \\ &\lt \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{aligned}$$*) in der vierten Zeile erweitere ich den Bruch mit dem 'konjugierten' Term des Zählers, $$\to (2n+1)\sqrt{3n+4} + 2(n+1)\sqrt{3n+1} \gt 0$$ ... also ich ersetze das Minus durch ein Plus, und nach der dritten binomischen Formel bleibt dann die Differenz der Quadrate über. Der 'konjugierten' Term und damit der Nenner ist sicher positiv, da dort nur positive Ausdrücke addiert und multipliziert werden.
Und so ist gezeigt, dass $$\frac{1}{(n+1)+1} \le \prod\limits_{k=1}^{n+1}\frac{2k-1}{2k} \le \frac 1{\sqrt{3(n+1)+1}}$$gilt, wenn$$\frac{1}{n+1} \le \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} \le \frac 1{\sqrt{3n+1}}$$gilt. Und somit gilt die letztere Ungleichung für alle \(n \in \mathbb N\).
