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Aufgabe:

Für welche natürlichen Zahlen n geltet die folgende Ungleichung:

3(2n)3^{(2^n)}  <  2(3n)2^{(3^n)}

Beweisen Sie!



Problem/Ansatz:

könntet ihr mir helfen, wie ich diese Ungleichung löse?

Bitte mit einzelnen Rechenschritten/Erklärung.

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Ich habe anscheinend vergessen die n noch hochzusetzen.


Die Ungleichung, die zu lösen ist, lautet:

3^(2n) < 2^(3n).


Entschuldigt bitte.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Hier ist vollständige Induktion eigentlich nicht sinnvoll, weil man die Ungleichung direkt nach nn auflösen kann:32n<23nln()\left.3^{2^n}<2^{3^n}\quad\right|\quad\ln(\cdots)ln(32n)<ln(23n)ln(ab)=bln(a)\left.\ln\left(3^{2^n}\right)<\ln\left(2^{3^n}\right)\quad\right|\quad\ln(a^b)=b\ln(a)2nln3<3nln2ln()\left.2^n\ln3<3^n\ln2\quad\right|\quad\ln(\cdots)ln(2nln3)<ln(3nln2)ln(ab)=ln(a)+ln(b)\left.\ln(2^n\ln3)<\ln(3^n\ln2)\quad\right|\quad\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)ln(2n)+ln(ln3)<ln(3n)+ln(ln2)ln(ab)=bln(a)\left.\ln(2^n)+\ln(\ln3)<\ln(3^n)+\ln(\ln2)\quad\right|\quad\ln(a^b)=b\ln(a)nln2+ln(ln3)<nln3+ln(ln2)nln2\left.n\ln2+\ln(\ln3)<n\ln3+\ln(\ln2)\quad\right|\quad-n\ln2ln(ln3)<nln3nln2+ln(ln2)ln(ln2)\left.\ln(\ln3)<n\ln3-n\ln2+\ln(\ln2)\quad\right|\quad-\ln(\ln2)ln(ln3)ln(ln2)<nln3nln2rechts n ausklammern\left.\ln(\ln3)-\ln(\ln2)<n\ln3-n\ln2\quad\right|\quad\text{rechts \(n\) ausklammern}ln(ln3)ln(ln2)<n(ln3ln2) : (ln3ln2)\left.\ln(\ln3)-\ln(\ln2)<n(\ln3-\ln2)\quad\right|\quad:\,(\ln3-\ln2)ln(ln3)ln(ln2)(ln3ln2)<n\left.\frac{\ln(\ln3)-\ln(\ln2)}{(\ln3-\ln2)}<n\quad\right.n>1,13588n>1,13588\cdotsDa nn ganzzahlig ist, gilt die Behauptung also für alle n2n\ge2.

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f1(x) = 3^(2x)f2(x) = 2^(3x)P(1,14|11,18)Zoom: x(0…2) y(0…20)


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Vielen lieben Dank!

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Nach Potenzgesetzen lässt sich die Ungleichunq umformen zu 9n < 8n.

Noch Fragen?

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Ich hatte wohl vergessen die n nochmal hochzustellen (siehe Kommentar). Kannst du da nochmal helfen? das

Dann müssten wir vielleicht logarithmieren:

ln  32n<ln  23nln\; 3^{2 ^n} < ln \; 2^{{3^n}}

(Überlege, warum "<" weiterhin gilt)

und dann Logarithmengesetze anwenden:

2nln  3<3nln  22 ^n\cdot ln\; 3<3^n\cdot ln \; 2

Ein wenig dividieren:

(23)n<ln  2ln  30,63 (\frac{2}{3})^n<\frac{ln \; 2}{ln \; 3}\approx 0,63

Für n=1 gilt das noch nicht, für n=2 (und erst recht für größere n) sehr wohl.

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