Vollständige Induktion, Ungleichung mit Beweis : 3^(2n) < 2^(3n)

Question

Aufgabe:

Für welche natürlichen Zahlen n geltet die folgende Ungleichung:

\(3^{(2^n)} \) <  \(2^{(3^n)} \)

Beweisen Sie!

Problem/Ansatz:

könntet ihr mir helfen, wie ich diese Ungleichung löse?

Bitte mit einzelnen Rechenschritten/Erklärung.

Comments

Ich habe anscheinend vergessen die n noch hochzusetzen.

Die Ungleichung, die zu lösen ist, lautet:

3^(2^n) < 2^(3^n).

Entschuldigt bitte.

Answer 1

Aloha :)

Hier ist vollständige Induktion eigentlich nicht sinnvoll, weil man die Ungleichung direkt nach \(n\) auflösen kann:$$\left.3^{2^n}<2^{3^n}\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(3^{2^n}\right)<\ln\left(2^{3^n}\right)\quad\right|\quad\ln(a^b)=b\ln(a)$$$$\left.2^n\ln3<3^n\ln2\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(2^n\ln3)<\ln(3^n\ln2)\quad\right|\quad\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)$$$$\left.\ln(2^n)+\ln(\ln3)<\ln(3^n)+\ln(\ln2)\quad\right|\quad\ln(a^b)=b\ln(a)$$$$\left.n\ln2+\ln(\ln3)<n\ln3+\ln(\ln2)\quad\right|\quad-n\ln2$$$$\left.\ln(\ln3)<n\ln3-n\ln2+\ln(\ln2)\quad\right|\quad-\ln(\ln2)$$$$\left.\ln(\ln3)-\ln(\ln2)<n\ln3-n\ln2\quad\right|\quad\text{rechts \(n\) ausklammern}$$$$\left.\ln(\ln3)-\ln(\ln2)<n(\ln3-\ln2)\quad\right|\quad:\,(\ln3-\ln2)$$$$\left.\frac{\ln(\ln3)-\ln(\ln2)}{(\ln3-\ln2)}<n\quad\right.$$$$n>1,13588\cdots$$Da \(n\) ganzzahlig ist, gilt die Behauptung also für alle \(n\ge2\).

~plot~ 3^(2^x) ; 2^(3^x) ; {1,14|11,18} ; [[0|2|0|20]] ~plot~

Comments

Vielen lieben Dank!

Answer 2

Nach Potenzgesetzen lässt sich die Ungleichunq umformen zu 9^n < 8^n.

Noch Fragen?

Comments

Ich hatte wohl vergessen die n nochmal hochzustellen (siehe Kommentar). Kannst du da nochmal helfen? das

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Dann müssten wir vielleicht logarithmieren:

\(ln\; 3^{2 ^n} < ln \; 2^{{3^n}} \)

(Überlege, warum "<" weiterhin gilt)

und dann Logarithmengesetze anwenden:

\(2 ^n\cdot ln\; 3<3^n\cdot ln \; 2 \)

Ein wenig dividieren:

\( (\frac{2}{3})^n<\frac{ln \; 2}{ln \; 3}\approx 0,63 \)

Für n=1 gilt das noch nicht, für n=2 (und erst recht für größere n) sehr wohl.