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Aufgabe:

Gegeben ist das Modell einer senkrechten quadratischen Pyramide mit den Eckpunkten A(5/4/0), B(8/10,5/0), C(1,5/13,5/0), D(-1,5/7/0) und der Spitze S(3,25/8,75/4,25).

a) Zeichnen Sie ein SchrĂ€gbild des Modells. Zeigen Sie, dass das Modell in etwa die Pyramide von Khephren in Ägypten im Maßstab 1:3000 modelliert. Deren quadratische GrundflĂ€che besitzt eine SeitenlĂ€nge von 215,2 m, Ihre Höhe betrĂ€gt 142,5 m.

b) Neben der Pyramide befindet sich ein Hang, der im Modell durch eine Ebene E modelliert werden kann. Die Punkte U(3/-2/4), V(3/-1/2) und W(-3/5/-2) liegen in der Ebene. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene. (Kontrollergebnis: E: 4x1+6x2+3x3=12).

c) Stellen Sie den Hang in Ihrem SchrÀgbild mithilfe der drei Spurgeraden der Ebene graphisch dar.

Sonnenlicht fĂ€llt auf das Pyramidenmodell in Richtung v→=(-27/-89/-57). Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes, den die Spitze S im Modell auf den Hang wirft.

BegrĂŒnden Sie, dass der Schattenpunkt in einer der Koordinatenebenen zwischen zwei Spurpunkten liegt. Zeichnen Sie den Pyramidenschatten ein. Berechnen Sie den FlĂ€cheninhalt der SchattenflĂ€che in der x1x2-Ebene des Modells.

d) Eine neue Touristenattraktion ist eine Seilbahn ĂŒber die Pyramide. Sie verlĂ€uft im Modell geradlinig vom Punkt P(6/2/7) zum Punkt Q(5/17/8).Weisen Sie nach, dass der Abstand zur Symmetrieachse der Pyramide etwa 2,29 cm betrĂ€gt. Beweisen Sie damit, dass das Seil ĂŒber die GrundflĂ€che der Pyramide verlĂ€uft.


Problem/Ansatz:

Ich kann nur die Teilaufgabe b) lösen und selbst da komme ich nicht auf das Kontrollergebnis:

Punkte: U(3/-2/4), V(3/-1/2) und W(-3/5-2).

Parameterform der Ebene E: x→= (3/-2/4) + r*(0/1/-2) + s*(-6/7/-6)

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren n→=(0/1/-2)x(-6/7/-6)=(20/12/6)

20x1+12x2+6x3=a

FĂŒr x1,x2,x3 Koordinaten von Ortsvektor einsetzen: 20*3+12*(-2)+6*4=60.

Dieses Ergebnis stimmt aber mit dem Kontrollergebnis (E: 4x1+6x2+3x3=12) nicht ĂŒberein, ich habe schon noch einmal gerechnet, finde aber meinen Fehler leider nicht. Und mit den anderen Teilaufgaben kann ich leider nichts anfangen...vor allem bei Teilaufgabe a) Maßstab 1:3000, wozu dient hier diese Information? Kann mir bitte jemand hier helfen? Herzlichen Dank im Voraus!

Avatar von

=(0/1/-2)x(-6/7/-6)=(8/12/6) !!!!

1*(-6)-7*(-2)=8

Vielen Dank, das habe ich jetzt korrigiert, aber das Endergebnis 8x+ 12x+ 6x3=24 stimmt nicht mit dem Kontrollergebnis ĂŒberein, irgendwas stimmt hier nicht...

3 Antworten

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Beste Antwort

a)

Zum Zeichnen (von Hand) mĂŒssen die Punkte in ebenen Koordinaten dargestellt werden P(x|y|z)→P'(X|Y) Mit $$X=x+y/(2*\sqrt{2} $$$$Y=z+y/(2*\sqrt{2} $$

$$A(5/4/0)→A(6,4/1,4)$$$$B(8/10,5/0)→B'(11,7/3,7)$$$$C(1,5/13,5/0)→C'(6,3/4,8)$$$$D(-1,5/7/0)→D'(1/2,5)$$$$ S(3,25/8,75/4,75)→S'(6,35/7,85)$$$$

$$M(3,25/8,75/0)→M'(6,35/3,1)$$

a2)

$$|AM|=\sqrt{(1,75^2+4,75^2}≈5,06cm$$

$$|BM|=\sqrt{4,75^2+1,75^2}≈5,06cm$$

$$|CM|=\sqrt{1,75^2+4,75^2}≈5,06cm$$

$$|DM|=\sqrt{4,75^2+1,75^2}≈5,062114cm=d/2$$

$$\sqrt{4,75^2+1,75^2}*300000* \sqrt{2} m≈214,77m$$

$$4,75cm*300000≈142,5m$$

Zu b)

=(0/1/-2)x(-6/7/-6)=(8/12/6) !!!!

Der Schatten:

$$g(t)=(3,25 | 8,75 | 4,75) +t( -27 | -89 | -57)$$

Eingesetzt in die Formel der Böschungsebene

$$4(3,25-27t)+6(8,75-89t)+3(4,25-57t)=12$$

$$t=\frac{12-4*3,25-6*8,75-3*4,75}{-4*27-6*89-3*57} â‰ˆ0,0833333$$

Der Schatten von S ist der Punkt S'

$$S'≈(3,25 | 8,75 | 4,25) +0,0833333( -27 | -89 | -57)≈(1,000 | 1,333 | 0,000)$$

S'  liegt genau auf der x_3 =0 Ebene. Der Schatten von S fĂ€llt auf die untere Kante der Böschung.

Nun betrachte ich den Schatten auf die x_3= 0 Ebene.

$$4,75-r*57=0$$

$$r≈0,0833333=t$$

$$S''=S'$$

Der Schatten liegt im Dreieck ADS'

d) $$P(6/2/7) ; Q(5/17/8)$$ $$S(3,25/8,75/4,75)$$ $$PQ(-1/15/1)$$ $$2+t*15=8,75$$ $$t=6,75/15=0,45$$ $$x_1(x_2=8,75)=6-0,45*1=5,55$$ $$dx_1=5,55-3,25=2,30$$ $$PQ^2=15^2+1+1=227$$ $$|PQ|≈15,06$$$$d=2,30*15/15,06≈2,29$$$$A(5/4/0), B(8/10,5/0)$$$$AB(3/6,5/0)$$$$AB^2=9+42,25=51,25$$$$|AB|=7,16$$$$2,29<7,16/2$$$$d<|AB|/2$$ Die Seilbahn verlĂ€uft ĂŒber der Pyramide

Avatar von 11 k

Vielen Dank fĂŒr die ausfĂŒhrliche Lösung zu a)!

Bei b) habe ich das Endergebnis als 8x1 + 12x2 + 6x3=24 berechnet, aber das stimmt nicht mit dem Kontrollergebnis 4x1 + 6x2 +3x3 =12 ĂŒberein, entweder ist es ein Druckfehler oder irgendwas stimmt hier nicht...

Und könnten Sie mir vielleicht erklĂ€ren, wie man das hier macht? Vor allem beim Einzeichnen von Pyamidenschatten habe ich Schwierigkeiten, habe ĂŒberhaupt keine Vorstellung wie das auszusehen hat...Vielen Dank!

BegrĂŒnden Sie, dass der Schattenpunkt in einer der Koordinatenebenen zwischen zwei Spurpunkten liegt. Zeichnen Sie den Pyramidenschatten ein. Berechnen Sie den FlĂ€cheninhalt der SchattenflĂ€che in der x1x2-Ebene des Modells.

"Bei b) habe ich das Endergebnis als 8x1 + 12x2 + 6x3=24 berechnet, aber das stimmt nicht mit dem Kontrollergebnis 4x1 + 6x2 +3x3 =12 ĂŒberein, entweder ist es ein Druckfehler oder irgendwas stimmt hier nicht..."

Und was stimmt nicht? Teile beide Seiten der Gleichung durch 2 und alles ist gut.

Zum Schatten melde ich mich spĂ€ter , muss zwischendurch auch mal arbeiten.

Alles klar, vielen Dank!

Habe mit h= 4,75 gerechnet  und die Antwort ergĂ€nzt.

Herzlichen Dank, ich habe fĂŒr t auch den gleichen Wert ausgerechnet.

Könnten Sie mir bitte noch bei der Teilaufgabe d) helfen?

... habe ĂŒberhaupt keine Vorstellung wie das auszusehen hat

Versuche es mal im Geoknecht3D:

blob.png  

(klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene in Geoknecht3D)

Ich habe die Antwort ergÀnzt. Alles Gute Hogar

Vielen herzlichen Dank fĂŒr Ihre Hilfe und die ausfĂŒhrlichen Lösungen Hogar, ist wirklich sehr nett von Ihnen!!! GrĂŒĂŸe

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n→=(0/1/-2)x(-6/7/-6)=(20/12/6) stimmt nicht,

die erste Komponente ist eine 8.

c)  FĂŒr den Schatten pun kt schneide die "Lichtgerade"    x =  (3,25/8,75/4,25).+t*(-27/-89/-57) mit der

Hangebene , das gibt t=0,0815 .

Avatar von 289 k 🚀
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a) Jede SeitenlĂ€nge a der quadratischen GrundflĂ€che hat im Modell die LĂ€nge a≈7.15891 LE.

3000·7.15891 LE=21476,73 LE. Laut Aufgabentext  besitzt die GrundflĂ€che in der Wirklichkeit eine SeitenlĂ€nge von 215,2 m. Selbst , wenn man annimmt, dass 1 LE=1 cm (was nicht im Text steht), ergĂ€ben sich 214,8 m und nicht 215,2 m.

An dieser Stelle vergeht mir die Lust am Weiterrechnen.

Avatar von 124 k 🚀
Zeigen Sie, dass das Modell in etwa die

Google die Bedeutung von "in etwa".

Ja, 214,8 wĂŒrde besser passen, doch da steht ja " in etwa" 1/3000

Doch zur Höhe 142, 5 m passt besser

S(3,25/8,75/4,75)

Statt wie angegeben

S(3,25/8,75/4,25)

Mit diesen beiden kleinen Änderungen wĂ€re die Aufgabe doch ganz passabel


WIKIPEDIA sagt: a= 215 m ; h=143,5 m

Jetzt h= 136,4 m

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Chephren-Pyramide

Vielen Dank, und mag sein, dass es sehr einfach ist, aber könnten Sie mir bitte erklÀren wie Sie auf a=7,15891 LE kommen?

TatsĂ€chlich habe ich mich bei der Koordinate von z vertippt, sie lautet 4,75 und nicht 4,25. Danke fĂŒr den Hinweis!

Ich danke Ihnen auch fĂŒr die Skizze Werner-Salomon!

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