Pyramide Ebene Abstand zur Symmetriachse

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das Modell einer senkrechten quadratischen Pyramide mit den Eckpunkten A(5/4/0), B(8/10,5/0), C(1,5/13,5/0), D(-1,5/7/0) und der Spitze S(3,25/8,75/4,25).

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Modells. Zeigen Sie, dass das Modell in etwa die Pyramide von Khephren in Ägypten im Maßstab 1:3000 modelliert. Deren quadratische Grundfläche besitzt eine Seitenlänge von 215,2 m, Ihre Höhe beträgt 142,5 m.

b) Neben der Pyramide befindet sich ein Hang, der im Modell durch eine Ebene E modelliert werden kann. Die Punkte U(3/-2/4), V(3/-1/2) und W(-3/5/-2) liegen in der Ebene. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene. (Kontrollergebnis: E: 4x₁+6x₂+3x₃=12).

c) Stellen Sie den Hang in Ihrem Schrägbild mithilfe der drei Spurgeraden der Ebene graphisch dar.

Sonnenlicht fällt auf das Pyramidenmodell in Richtung v^→=(-27/-89/-57). Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes, den die Spitze S im Modell auf den Hang wirft.

Begründen Sie, dass der Schattenpunkt in einer der Koordinatenebenen zwischen zwei Spurpunkten liegt. Zeichnen Sie den Pyramidenschatten ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schattenfläche in der x₁x₂-Ebene des Modells.

d) Eine neue Touristenattraktion ist eine Seilbahn über die Pyramide. Sie verläuft im Modell geradlinig vom Punkt P(6/2/7) zum Punkt Q(5/17/8).Weisen Sie nach, dass der Abstand zur Symmetrieachse der Pyramide etwa 2,29 cm beträgt. Beweisen Sie damit, dass das Seil über die Grundfläche der Pyramide verläuft.

Problem/Ansatz:

Ich kann nur die Teilaufgabe b) lösen und selbst da komme ich nicht auf das Kontrollergebnis:

Punkte: U(3/-2/4), V(3/-1/2) und W(-3/5-2).

Parameterform der Ebene E: x^→= (3/-2/4) + r*(0/1/-2) + s*(-6/7/-6)

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren n^→=(0/1/-2)x(-6/7/-6)=(20/12/6)

20x₁+12x₂+6x₃=a

Für x₁,x₂,x₃ Koordinaten von Ortsvektor einsetzen: 20*3+12*(-2)+6*4=60.

Dieses Ergebnis stimmt aber mit dem Kontrollergebnis (E: 4x₁+6x₂+3x₃=12) nicht überein, ich habe schon noch einmal gerechnet, finde aber meinen Fehler leider nicht. Und mit den anderen Teilaufgaben kann ich leider nichts anfangen...vor allem bei Teilaufgabe a) Maßstab 1:3000, wozu dient hier diese Information? Kann mir bitte jemand hier helfen? Herzlichen Dank im Voraus!

Comments

=(0/1/-2)x(-6/7/-6)=(8/12/6) !!!!

1*(-6)-7*(-2)=8

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Vielen Dank, das habe ich jetzt korrigiert, aber das Endergebnis 8x₁ + 12x₂ + 6x₃=24 stimmt nicht mit dem Kontrollergebnis überein, irgendwas stimmt hier nicht...

Answer 1

a)

Zum Zeichnen (von Hand) müssen die Punkte in ebenen Koordinaten dargestellt werden P(x|y|z)→P'(X|Y) Mit $$X=x+y/(2*\sqrt{2} $$$$Y=z+y/(2*\sqrt{2} $$

$$A(5/4/0)→A(6,4/1,4)$$$$B(8/10,5/0)→B'(11,7/3,7)$$$$C(1,5/13,5/0)→C'(6,3/4,8)$$$$D(-1,5/7/0)→D'(1/2,5)$$$$ S(3,25/8,75/4,75)→S'(6,35/7,85)$$$$

$$M(3,25/8,75/0)→M'(6,35/3,1)$$

a2)

$$|AM|=\sqrt{(1,75^2+4,75^2}≈5,06cm$$

$$|BM|=\sqrt{4,75^2+1,75^2}≈5,06cm$$

$$|CM|=\sqrt{1,75^2+4,75^2}≈5,06cm$$

$$|DM|=\sqrt{4,75^2+1,75^2}≈5,062114cm=d/2$$

$$\sqrt{4,75^2+1,75^2}*300000* \sqrt{2} m≈214,77m$$

$$4,75cm*300000≈142,5m$$

Zu b)

=(0/1/-2)x(-6/7/-6)=(8/12/6) !!!!

Der Schatten:

$$g(t)=(3,25 | 8,75 | 4,75) +t( -27 | -89 | -57)$$

Eingesetzt in die Formel der Böschungsebene

$$4(3,25-27t)+6(8,75-89t)+3(4,25-57t)=12$$

$$t=\frac{12-4*3,25-6*8,75-3*4,75}{-4*27-6*89-3*57} ≈0,0833333$$

Der Schatten von S ist der Punkt S'

$$S'≈(3,25 | 8,75 | 4,25) +0,0833333( -27 | -89 | -57)≈(1,000 | 1,333 | 0,000)$$

S'  liegt genau auf der x_3 =0 Ebene. Der Schatten von S fällt auf die untere Kante der Böschung.

Nun betrachte ich den Schatten auf die x_3= 0 Ebene.

$$4,75-r*57=0$$

$$r≈0,0833333=t$$

$$S''=S'$$

Der Schatten liegt im Dreieck ADS'

d) $$P(6/2/7) ; Q(5/17/8)$$ $$S(3,25/8,75/4,75)$$ $$PQ(-1/15/1)$$ $$2+t*15=8,75$$ $$t=6,75/15=0,45$$ $$x_1(x_2=8,75)=6-0,45*1=5,55$$ $$dx_1=5,55-3,25=2,30$$ $$PQ^2=15^2+1+1=227$$ $$|PQ|≈15,06$$$$d=2,30*15/15,06≈2,29$$$$A(5/4/0), B(8/10,5/0)$$$$AB(3/6,5/0)$$$$AB^2=9+42,25=51,25$$$$|AB|=7,16$$$$2,29<7,16/2$$$$d<|AB|/2$$ Die Seilbahn verläuft über der Pyramide

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Lösung zu a)!

Bei b) habe ich das Endergebnis als 8x₁ + 12x₂ + 6x₃=24 berechnet, aber das stimmt nicht mit dem Kontrollergebnis 4x₁ + 6x₂ +3x₃ =12 überein, entweder ist es ein Druckfehler oder irgendwas stimmt hier nicht...

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Und könnten Sie mir vielleicht erklären, wie man das hier macht? Vor allem beim Einzeichnen von Pyamidenschatten habe ich Schwierigkeiten, habe überhaupt keine Vorstellung wie das auszusehen hat...Vielen Dank!

Begründen Sie, dass der Schattenpunkt in einer der Koordinatenebenen zwischen zwei Spurpunkten liegt. Zeichnen Sie den Pyramidenschatten ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schattenfläche in der x1x2-Ebene des Modells.

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"Bei b) habe ich das Endergebnis als 8x1 + 12x2 + 6x3=24 berechnet, aber das stimmt nicht mit dem Kontrollergebnis 4x1 + 6x2 +3x3 =12 überein, entweder ist es ein Druckfehler oder irgendwas stimmt hier nicht..."

Und was stimmt nicht? Teile beide Seiten der Gleichung durch 2 und alles ist gut.

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Zum Schatten melde ich mich später , muss zwischendurch auch mal arbeiten.

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Alles klar, vielen Dank!

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Habe mit h= 4,75 gerechnet  und die Antwort ergänzt.

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Herzlichen Dank, ich habe für t auch den gleichen Wert ausgerechnet.

Könnten Sie mir bitte noch bei der Teilaufgabe d) helfen?

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... habe überhaupt keine Vorstellung wie das auszusehen hat

Versuche es mal im Geoknecht3D:

 

(klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene in Geoknecht3D)

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Ich habe die Antwort ergänzt. Alles Gute Hogar

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Vielen herzlichen Dank für Ihre Hilfe und die ausführlichen Lösungen Hogar, ist wirklich sehr nett von Ihnen!!! Grüße

Answer 2

n→=(0/1/-2)x(-6/7/-6)=(20/12/6) stimmt nicht,

die erste Komponente ist eine 8.

c)  Für den Schatten pun kt schneide die "Lichtgerade"    x =  (3,25/8,75/4,25).+t*(-27/-89/-57) mit der

Hangebene , das gibt t=0,0815 .

Answer 3

a) Jede Seitenlänge a der quadratischen Grundfläche hat im Modell die Länge a≈7.15891 LE.

3000·7.15891 LE=21476,73 LE. Laut Aufgabentext  besitzt die Grundfläche in der Wirklichkeit eine Seitenlänge von 215,2 m. Selbst , wenn man annimmt, dass 1 LE=1 cm (was nicht im Text steht), ergäben sich 214,8 m und nicht 215,2 m.

An dieser Stelle vergeht mir die Lust am Weiterrechnen.

Comments

Zeigen Sie, dass das Modell in etwa die

Google die Bedeutung von "in etwa".

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Ja, 214,8 würde besser passen, doch da steht ja " in etwa" 1/3000

Doch zur Höhe 142, 5 m passt besser

S(3,25/8,75/4,75)

Statt wie angegeben

S(3,25/8,75/4,25)

Mit diesen beiden kleinen Änderungen wäre die Aufgabe doch ganz passabel

WIKIPEDIA sagt: a= 215 m ; h=143,5 m

Jetzt h= 136,4 m

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Chephren-Pyramide

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Vielen Dank, und mag sein, dass es sehr einfach ist, aber könnten Sie mir bitte erklären wie Sie auf a=7,15891 LE kommen?

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Tatsächlich habe ich mich bei der Koordinate von z vertippt, sie lautet 4,75 und nicht 4,25. Danke für den Hinweis!

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Ich danke Ihnen auch für die Skizze Werner-Salomon!