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Aufgabe: Ist f injektiv, surjektiv oder bijektiv?

1: f: ℝ->ℝ, x ↦ x/2 +1000

2: f: ℝ->ℝ≥0, x ↦ x+x²+1

3:f:ℚ>0 -> ℤ, a/b ↦ 2a3b, wobei wir annehmen, dass der Bruch gekürzt ist, es also keine natürliche von eins verschiedene Zahl gibt, die a und b teilt

4: f: ℤ ->ℝ, x ↦ 1/3 + x³


Denke 1 und4  sind surjektiv und 1 bijektiv bin mir aber sehr unsicher. würde mich freuen wenn jemand antworten würde

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Hier meine Vorschläge als Diskussionsgrundlage

1. ist bijektiv

2. weder injektiv noch surjektiv

3. injektiv

4. injektiv

1 Antwort

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1: f: ℝ->ℝ, x ↦ x/2 +1000

            s/2 + 1000 = t/2 + 1000 ==>  s=t also injektiv
        Sei y ∈ℝ ==>   f( (y-1000)*2 ) = y  also surjektiv



2: f: ℝ->ℝ≥0, x ↦ x^4  +x²+1    f(1) = f(-1) also nicht injektiv
f(x) = 0 hat keine Lösung, also nicht surjektiv

3:f:ℚ>0 -> ℤ, a/b ↦ 2^a*3^b, wobei wir annehmen, dass der Bruch gekürzt ist, es also keine natürliche von eins verschiedene Zahl gibt, die a und b teilt.

       2^s*3^t = 2^r*3u

        2^(s-r) = 3^(t-u)  ==>  s=r und t=u also injektiv

 z.B. 7 kommt nicht als Bild vor, also nicht surjektiv



4: f: ℤ ->ℝ, x ↦ 1/3 + x³

1/3+s^3 = 1/3 + t^3     ==>   s = t , also injektiv

      z.B. 0 kommt nicht als Bild vor ; denn die 3.Wurzel aus 1/3 ist keine ganze Zahl.

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