Beweis oder Widerlegung bijektiv, injektiv oder surjektiv formale Schreibweise

Question

Hallo Leute könnt ihr, dabei helfen die folgende Aufgabe formal richtig zu schreiben. Ich mache es mir immer schwer und verliere leicht den Überblick.

\(f_{Λ}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(f_{Λ}(x)= Λx\) für ein festes \(Λ\in\mathbb{R}\)

\(h:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(h(x,y)= x,y\) für alle \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\)

Ich weiß auch, dass die beiden nur injektiv ist.

Comments

Hallo,

im ersten Beispiel hängt das Ergebnis vom Wert von \(\Lambda\) ab. Was wäre zum Beispiel für \(\Lambda=0\)? Für \(\Lambda \neq 0\) ist der Graph von f eine (nicht waagerechte) Gerade - was bedeutet das für Bijektivität und Injektivität?

Beim zweiten Beispiel weiß ich nicht, was x,y bedeuten soll?

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge höchstens 1-mal getroffen wird. Das heißt, wenn du zwei gleiche Funktionswerte hast, z.B. \(f(x_1)=f(x_2)\), dann muss der "Schütze" aus der Definitionsmenge derselbe sein, d.h. \(x_1=x_2\). Formal heißt das:$$f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2$$

Für die Funktion \(f_\Lambda\) kannst du das so aufschreiben:$$f_\Lambda(x_1)=f_\Lambda(x_2)\implies\Lambda x_1=\Lambda x_2\stackrel{(\Lambda\ne0)}{\implies}x_1=x_2\quad\text{falls }\Lambda\ne0$$Die Funktion \(f_\Lambda\) ist also injektiv, wenn \(\Lambda\ne0\) ist. Für \(\Lambda=0\) lautet die Funktion nämlich \(f(x)=0\) und es ist klar, dass der Zielwert \(0\) aus der Wertemenge von jedem Element der Definitionsmenge getroffen wird, also mehr als ein Mal.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge mindestens 1-mal getroffen wird. Das heißt, jedes Ziel wird getroffen. Das kannst du zeigen, indem du dir ein beliebiges \(y\) aus der Wertemenge holst und dann ein passendes Argument \(x\) aus der Definitionsmenge angibst, sodass \(y=f(x)\) gilt.

Für die Funktion \(f_\Lambda\) sieht das so aus:

Wir wählen ein \(y\in\mathbb R\) aus der Wertemenge völlig beliebig und halten es fest. Wegen \(y=\Lambda\cdot x\) können wir ein \(x=\frac{y}{\Lambda}\) angeben, sodass \(f(x)=y\) ist. Das geht natürlich nur für \(\Lambda\ne0\). Daher ist die Funktion für \(\Lambda\ne0\) surjektiv.

Für \(\Lambda=0\) ist \(f(x)=0\) für alle \(x\in\mathbb R\). Da die Funktion \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\) alle reellen Zahlen als Wertemenge hat, müsste aber z.B. auch der Wert \(1\) getroffen werden. Das ist offensichtlich nicht der Fall. Für \(\Lambda=0\) ist die Funktion daher nicht surjektiv.