Beweis oder Widerlegung bijektiv, injektiv oder surjektiv. Bsp. (III) h: R^2-R mit h(x,y)=xy für alle (x,y)€R^2

Question

(1)  fλ : ℝ → ℝ  mit fλ(x) = λx für ein festes  λ ∈ ℝ

(2)  g : P(N) → N₀ ∪ {∞} mit g(M) = |M| für alle endlichen Mengen  M ⊆ N und g(M) = ∞ für alle  unendlichen Mengen M ⊆ N

(3)  h: ℝ² → ℝ mit h(x, y) = xy für alle ( x, y) ∈ ℝ²

Die Behauptung soll außerdem bewiesen werden. Wie genau schreibe ich das auf?

Ich bräuchte hilfe bei den aufgaben. Könnte mir jemand bitte helfen?

Comments

(i) ist weder injektiv noch surjektiv, wenn lambda = 0 ist.

Answer 1

lambda=0 siehe Kommentar. Begr.:

Es ist z.B fo(1) = fo(2)  also nicht inj.  Und fo(x) = 0 für alle x aus R,

also insbesondere gibt es kein x mit fo(x) = 1.

Für lambda ungleich 0 (Ich nehme mal L )

ist aus  f_L(a) = f_L(b)   also  a*L = b*L  zu folgern a=b , da eben L nicht 0 ist.

also inj.

surj ?   Sei y aus R . Gibt es x aus mit  f_L(x) = y

also  x*L = y   Ja, gibt es, wähle   x = y / L  ( existier wegen L ungleich 0) .

b) vergleiche mit

https://www.mathelounge.de/283288/entscheiden-folgenden-funktionen-injektiv-surjektiv-bijektiv

dort Teil c)  so ähnlich

c) nicht injektiv, weil z.B. 2*5 = 1*10

also f(2;5) = f ( 1;10) aber nicht   (2;5= = ( 1 , 10) .

surjektiv klar, wegen f(1;x) = 1*x = x