Beweis Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv

Question

Ich bräuchte Hilfe bei Bearbeitung diese Aufgaben:

Sei M = 2 ^N \ {∅}.

a) Die Abbildung f₁ : M → ℕ ist definiert durch f₁({k₁, k₂, . . . , k_m }) = k₁ + k₂ + . . . + k_m.

Bsp.: f₁({5, 2, 8, 3}) = 5 + 2 + 8 + 3 = 18.

b) Die Abbildung f₂ : M → ℕ ist definiert durch f₂({k₁, k₂, . . . , k_m }) = 10^k1 + 10^k2 + . . . + 10^km .

Bsp.: f2({5, 2, 8, 3}) = 10⁵+10²+10⁸+10³ = 100000+100+100000000+1000 = 100101100.

Beantworten und beweisen Sie für die Abbildungen f₁ und f₂, ob sie injektiv, surjektiv, bijektiv sind.

Danke.

Answer 1

Sei M = 2 ^N \ {∅}.Das soll wohl heißen: " alle nicht leeren endlichen Teilmengen von N " ????

(für unendliche wäre die Abb f1 nicht wohldefiniert.)

Dann ist es surjektiv, weil jedes n aus N als Bild vorkommt, etwa f( {0} ) = 0

und ansonsten f { n-1; 1 } = n.

nicht injektiv, da f ( {1;4}) =  f ( {2;3})  aber  {1;4} ≠   {2;3}   denn z.B 1 ∉   {2;3}

2.  f2 nicht surjektiv, denn es entstehen offenbar nur Zahlen, deren Ziffern

0en und 1en sind.  Also gibt es kein X aus M mit f2(X)= 2.

injektiv schon, wegen der Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung einer natürlichen Zahl.